3 manières de factoriser un trinôme

2024 Auteur: Jason Gerald | [email protected]. Dernière modifié: 2024-01-15 08:14

Un trinôme est une expression algébrique composée de trois termes. Très probablement, vous commencerez à apprendre à factoriser un trinôme quadratique, c'est-à-dire un trinôme écrit sous la forme ax² + bx + c. Il y a quelques astuces à apprendre, qui peuvent être utilisées pour de nombreux types différents de trinômes quadratiques, mais vous pourrez les utiliser mieux et plus rapidement avec la pratique. Polynômes d'ordre supérieur, avec des termes comme x³ ou x⁴, ne peut pas toujours être résolu de la même manière, mais vous pouvez souvent utiliser une simple factorisation ou une substitution pour en faire un problème pouvant être résolu comme n'importe quelle autre formule quadratique.

Étape

Méthode 1 sur 3: Affacturage x² + bx + c

Étape 1. Apprenez la multiplication PLDT

Vous avez peut-être appris à multiplier PLDT, ou "First, Outside, In, Last" pour multiplier des expressions telles que (x+2)(x+4). Il est utile de savoir comment fonctionne cette multiplication avant de factoriser:

Multiplier les tribus D'abord: (X+2)(X+4) = X² + _
Multiplier les tribus À l'extérieur: (X+2)(x+

Étape 4.) = x²+ 4x + _
Multiplier les tribus Dans: (x+

Étape 2.)(X+4) = x²+4x+ 2x + _
Multiplier les tribus Final: (x+

Étape 2.)(X

Étape 4.) = x²+4x+2x

Étape 8.
Simplifier: x²+4x+2x+8 = x²+6x+8

Étape 2. Comprendre l'affacturage

Lorsque vous multipliez deux binômes en utilisant la méthode PLDT, vous obtenez un trinôme (une expression à trois termes) sous la forme a x²+ b x+ c, où a, b et c sont des nombres ordinaires. Si vous commencez avec une équation qui a la même forme, vous pouvez la factoriser en deux binômes.

Si les équations ne sont pas écrites dans cet ordre, réorganisez les équations pour qu'elles aient cet ordre. Par exemple, réécrivez 3x - 10 + x² Devient X² + 3x - 10.
Parce que la puissance la plus élevée est 2 (x², ce type d'expression est dit quadratique.

Étape 3. Laissez un espace vide pour la réponse sous forme de multiplication PLDT

Pour l'instant, il suffit d'écrire (_ _)(_ _) où vous écrirez la réponse. Nous le remplirons en travaillant dessus

N'écrivez pas + ou - entre les termes vides car nous ne connaissons pas encore le bon signe

Étape 4. Remplissez les premiers termes

Pour des problèmes simples, le premier terme de votre trinôme est juste x², les termes en première position sont toujours X et X. Ce sont les facteurs du terme x² car x fois x = x².

Notre exemple x² + 3x - 10 commençant par x², on peut donc écrire:
(x _) (x _)
Nous travaillerons sur des problèmes plus complexes dans la section suivante, y compris les trinômes commençant par des termes comme 6x² ou -x². En attendant, suivez ces exemples de questions.

Étape 5. Utilisez la factorisation pour deviner les derniers termes

Si vous revenez en arrière et lisez les étapes pour multiplier PLDT, vous verrez que la multiplication des derniers termes produira le dernier terme du polynôme (termes qui n'ont pas x). Donc, pour factoriser, nous devons trouver deux nombres qui, une fois multipliés, produiront le dernier terme.

Dans notre exemple x² + 3x - 10, le dernier terme est -10.
Quels sont les facteurs de -10 ? Quel nombre est multiplié par -10 ?
Il existe plusieurs possibilités: -1 fois 10, 1 fois -10, -2 fois 5, ou 2 fois -5. Écrivez ces paires quelque part pour vous en souvenir.
Ne changez pas notre réponse tout de suite. Notre réponse devrait toujours ressembler à ceci: (x _)(x _).

Étape 6. Testez les possibilités qui correspondent au produit extérieur et intérieur

Nous avons réduit les derniers termes à quelques possibilités. Utilisez le système d'essai pour tester toutes les possibilités, en multipliant les termes externes et internes et en comparant le produit avec notre trinôme. Par exemple:

Notre problème d'origine avait le terme "x" à 3x, donc nos résultats de test devraient correspondre à ce terme.
Essais -1 et 10: (x-1)(x+10). Extérieur + Intérieur = 10x - x = 9x. Tort.
Essais 1 et -10: (x+1)(x-10). -10x + x = -9x. C'est faux. En fait, si vous testez -1 et 10, vous constaterez que 1 et -10 sont l'inverse de la réponse ci-dessus: -9x au lieu de 9x.
Essais -2 et 5: (x-2)(x+5). 5x - 2x = 3x. Le résultat correspond au polynôme initial, voici donc la bonne réponse: (x-2)(x+5).
Dans des cas simples comme celui-ci, si vous n'avez pas de constante devant le terme x², vous pouvez utiliser la méthode rapide: additionnez simplement les deux facteurs et mettez un "x" derrière (-2+5 → 3x). Cependant, cette méthode ne fonctionne pas pour les problèmes plus complexes, il est donc préférable de se souvenir du "long chemin" décrit ci-dessus.

Méthode 2 sur 3: Factorisation de trinômes plus complexes

Étape 1. Utilisez la factorisation simple pour simplifier les problèmes plus complexes

Par exemple, vous devez prendre en compte 3x² + 9x - 30. Trouvez un nombre qui peut prendre en compte les trois termes (« plus grand facteur commun » ou GCF). Dans ce cas, le GCF est de 3:

3x² = (3)(x²)
9x = (3)(3x)
-30 = (3)(-10)
Ainsi, 3x² + 9x - 30 = (3)(x²+3x-10). Nous pouvons factoriser le nouveau trinôme en utilisant les étapes de la section ci-dessus. Notre réponse finale sera (3)(x-2)(x+5).

Étape 2. Recherchez des facteurs plus compliqués

Parfois, la factorisation peut impliquer une variable, ou vous devrez peut-être factoriser plusieurs fois pour trouver l'expression la plus simple possible. Voici quelques exemples:

2x²y + 14xy + 24y = (2 ans)(X² + 7x + 12)
X⁴ + 11x³ - 26x² = (X²)(X² +11x - 26)
-X² + 6x - 9 = (-1)(X² - 6x + 9)
N'oubliez pas de refactoriser le nouveau trinôme en suivant les étapes de la méthode 1. Vérifiez votre travail et recherchez des exemples de problèmes similaires dans les exemples de questions au bas de cette page.

Étape 3. Résoudre les problèmes avec un nombre devant x².

Certains trinômes quadratiques ne peuvent être réduits au type de problème le plus simple. Apprenez à résoudre des problèmes comme 3x² + 10x + 8, puis entraînez-vous seul avec les exemples de questions au bas de cette page:

Définissez notre réponse comme suit: (_ _)(_ _)
Nos "premiers" termes auront chacun un x, et les multiplier donne 3x². Il n'y a qu'une seule possibilité: (3x _)(x _).
Énumérez les facteurs de 8. Les chances sont 1 fois 8 ou 2 fois 4.
Testez cette possibilité en utilisant les termes Outer et Inner. Notez que l'ordre des facteurs est très important car le terme externe est multiplié par 3x au lieu de x. Essayez toutes les possibilités jusqu'à ce que vous obteniez Out+In = 10x (à partir du problème d'origine):
(3x+1)(x+8) → 24x+x = 25x non
(3x+8)(x+1) → 3x+8x = 11x non
(3x+2)(x+4) → 12x+2x=14x non
(3x+4)(x+2) → 6x+4x=10x Oui. C'est le bon facteur.

Étape 4. Utilisez la substitution pour les trinômes d'ordre supérieur

Votre livre de mathématiques peut vous surprendre avec des équations à haute puissance, telles que x⁴, même après avoir utilisé la factorisation simple pour faciliter le problème. Essayez de substituer une nouvelle variable qui la transforme en un problème que vous savez résoudre. Par exemple:

X⁵+13x³+36x
=(x)(x⁴+13x²+36)
Créons une nouvelle variable. Disons y = x² et mettez-y:
(x)(y²+13 ans+36)
=(x)(y+9)(y+4). Maintenant, reconvertissez-le en variable initiale:
=(x)(x²+9)(x²+4)
= (x)(x±3)(x±2)

Méthode 3 sur 3: Affacturage des cas spéciaux

Étape 1. Trouvez les nombres premiers

Regardez pour voir si la constante dans le premier ou le troisième terme du trinôme est un nombre premier. Un nombre premier n'est divisible que par lui-même et 1, il n'y a donc qu'une seule paire possible de facteurs binomiaux.

Par exemple, en x² + 6x + 5, 5 est un nombre premier, donc le binôme doit être de la forme (_ 5)(_ 1).
Dans le problème de 3x²+10x+8, 3 est un nombre premier, donc le binôme doit être de la forme (3x _)(x _).
Pour les questions 3x²+4x+1, 3 et 1 sont tous deux des nombres premiers, donc la seule solution possible est (3x+1)(x+1). (Vous devez quand même multiplier ce nombre pour vérifier votre réponse car certaines expressions ne peuvent pas du tout être factorisées - par exemple, 3x²+100x+1 n'a pas de facteur.)

Étape 2. Découvrez si le trinôme est un carré parfait

Un trinôme carré parfait peut être factorisé en deux binômes identiques, et le facteur est généralement écrit comme (x+1)² et non (x+1)(x+1). Voici quelques exemples qui ont tendance à apparaître dans les questions:

X²+2x+1=(x+1)², et x²-2x+1=(x-1)²
X²+4x+4=(x+2)², et x²-4x+4=(x-2)²
X²+6x+9=(x+3)², et x²-6x+9=(x-3)²
Trinôme carré parfait sous la forme a x² + bx + c a toujours des termes a et c qui sont des carrés parfaits positifs (comme 1, 4, 9, 16 ou 25) et un terme b (positif ou négatif) qui est égal à 2(√a * √c).

Étape 3. Découvrez si un problème n'a pas de solution

Tous les trinômes ne peuvent pas être factorisés. Si vous ne pouvez pas factoriser un trinôme quadratique (ax²+bx+c), utilisez la formule quadratique pour trouver la réponse. Si la seule réponse est la racine carrée d'un nombre négatif, il n'y a pas de solution de nombre réel, alors le problème n'a pas de facteurs.

Pour les trinômes non carrés, utilisez le critère d'Eisenstein, qui est décrit dans la section Astuces

Réponses et exemples de questions

Réponses aux questions « d'affacturage compliqué ».

Ce sont des questions de l'étape « facteurs plus compliqués ». Nous avons simplifié les problèmes en des problèmes plus simples, alors essayez de les résoudre en suivant les étapes de la méthode 1, puis vérifiez votre travail ici:
- (2 ans)(x² + 7x + 12) = (x+3)(x+4)
- (X²)(X² + 11x - 26) = (x+13)(x-2)
- (-1 fois² - 6x + 9) = (x-3)(x-3) = (x-3)²
Essayez des problèmes de factorisation plus complexes.

Ces problèmes ont le même facteur dans chaque terme qui doit être pris en compte en premier. Bloquez les blancs après le signe égal pour voir les réponses afin de pouvoir vérifier votre travail:
- 3x³+3x²-6x = (3x)(x+2)(x-1) bloquer le blanc pour voir la réponse
- -5x³oui²+30x²oui²-25 ans²x = (-5xy^2)(x-5)(x-1)
Entraînez-vous à utiliser des questions. Ces problèmes ne peuvent pas être pris en compte dans des équations plus simples, vous devrez donc trouver la réponse sous la forme (_x + _)(_x + _) par essais et erreurs:
- 2x²+3x-5 = (2x+5)(x-1) bloquer pour voir la réponse
- 9x²+6x+1 = (3x+1)(3x+1)=(3x+1)² (Astuce: vous voudrez peut-être essayer plusieurs paires de facteurs pour 9x.)
Des astuces
- Si vous ne pouvez pas comprendre comment factoriser un trinôme quadratique (ax²+bx+c), vous pouvez utiliser la formule quadratique pour trouver x.
- Bien que vous n'ayez pas besoin de savoir comment procéder, vous pouvez utiliser les critères d'Eisenstein pour déterminer rapidement si un polynôme ne peut pas être simplifié et factorisé. Ce critère s'applique à n'importe quel polynôme mais est mieux utilisé pour les trinômes. S'il existe un nombre premier p qui divise les deux derniers termes de manière égale et satisfait les conditions suivantes, alors le polynôme ne peut pas être simplifié:
  - Les termes constants (sans variables) sont des multiples de p mais pas des multiples de p².
  - Le préfixe (par exemple, a in ax²+bx+c) n'est pas un multiple de p.
  - Par exemple, 14x² +45x +51 ne peut pas être simplifié car il existe un nombre premier (3) qui peut être divisible à la fois par 45 et 51, mais non divisible par 14, et 51 n'est pas divisible par 3².
Avertissement

Bien que cela soit vrai pour les trinômes quadratiques, le trinôme qui peut être factorisé n'est pas nécessairement le produit de deux binômes. Par exemple, x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2)(x² - 5x + 23).