6 façons de factoriser des polynômes du deuxième degré (équations carrées)

2024 Auteur: Jason Gerald | [email protected]. Dernière modifié: 2024-01-19 22:12

Un polynôme contient une variable (x) avec une puissance, appelée degré, et plusieurs termes et/ou constantes. Factoriser un polynôme signifie diviser l'équation en équations plus simples qui peuvent être multipliées. Cette compétence est en algèbre 1 et plus, et peut être difficile à saisir si vos compétences en mathématiques ne sont pas à ce niveau.

Étape

Début

Étape 1. Configurez votre équation

Le format standard pour une équation quadratique est:

hache² + bx + c = 0

Commencez par classer les termes de votre équation de la puissance la plus élevée à la plus faible, comme dans ce format standard. Par exemple:

6 + 6x² + 13x = 0

Nous allons réorganiser cette équation afin qu'elle soit plus facile à utiliser en déplaçant simplement les termes:

6x² + 13x + 6 = 0

Étape 2. Trouvez le facteur de forme en utilisant l'une des méthodes suivantes

La factorisation du polynôme donne deux équations plus simples qui peuvent être multipliées pour produire le polynôme d'origine:

6x² + 13x + 6 = (2x + 3)(3x + 2)

Dans cet exemple, (2x + 3) et (3x + 2) sont les facteurs de l'équation originale, 6x² +13x+6.

Étape 3. Vérifiez votre travail

Multipliez les facteurs que vous avez. Ensuite, combinez des termes similaires et vous avez terminé. Commencer avec:

(2x + 3) (3x + 2)

Essayons de multiplier les termes en utilisant PLDT (premier - extérieur - intérieur - dernier), ce qui donne:

6x² + 4x + 9x + 6

À partir de là, nous pouvons additionner 4x et 9x car ce sont des termes similaires. Nous savons que nos facteurs sont corrects car nous obtenons notre équation d'origine:

6x² + 13x + 6

Méthode 1 sur 6: Essais et erreurs

Si vous avez un polynôme assez simple, vous pourrez peut-être trouver les facteurs vous-même simplement en les regardant. Par exemple, après la pratique, de nombreux mathématiciens peuvent comprendre que l'équation 4x² + 4x + 1 a un facteur de (2x + 1) et (2x + 1) juste en le regardant souvent. (Ce ne sera bien sûr pas facile pour des polynômes plus compliqués). Pour cet exemple, utilisons une équation moins fréquemment utilisée:

3x² + 2x - 8

Étape 1. Écrivez une liste des facteurs du terme a et du terme c

Utiliser le format d'équation de la hache² + bx + c = 0, identifiez les termes a et c et notez les facteurs que les deux termes ont. Pour 3x² + 2x - 8, ce qui signifie:

a = 3 et a un ensemble de facteurs: 1 * 3

c = -8 et a quatre ensembles de facteurs: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 et -1 * 8.

Étape 2. Écrivez deux ensembles de parenthèses avec des espaces vides

Vous remplirez les blancs que vous avez créés avec des constantes pour chaque équation:

(x)(x)

Étape 3. Remplissez les blancs devant x avec les paires de facteurs possibles pour la valeur de a

Pour le terme a dans notre exemple, 3x², il n'y a qu'une seule possibilité pour notre exemple:

(3x)(1x)

Étape 4. Remplissez les deux blancs après x avec des paires de facteurs pour la constante

Supposons que nous choisissions 8 et 1. Écrivez-y:

(3x

Étape 8.)(

Étape 1

Étape 5. Déterminez le signe (plus ou moins) entre la variable x et le nombre

Selon les signes de l'équation d'origine, il peut être possible de rechercher des signes pour des constantes. Supposons que nous appelions les deux constantes h et k pour nos deux facteurs:

Si hache² + bx + c puis (x + h)(x + k)

Si hache² - bx - c ou hache² + bx - c puis (x - h)(x + k)

Si hache² - bx + c puis (x - h)(x - k)

Pour notre exemple, 3x² + 2x - 8, les signes sont:(x - h)(x + k), ce qui nous donne deux facteurs:

(3x + 8) et (x - 1)

Étape 6. Testez vos choix en utilisant la multiplication premier sorti-dernier (PLDT)

Le premier test rapide consiste à voir si le terme moyen a au moins la valeur correcte. Sinon, vous avez peut-être choisi les mauvais facteurs c. Testons notre réponse:

(3x + 8)(x - 1)

Par multiplication, on obtient:

3x² - 3x + 8x - 8

En simplifiant cette équation en ajoutant les termes similaires (-3x) et (8x), on obtient:

3x² - 3x + 8x - 8 = 3x² + 5x - 8

Nous savons maintenant que nous avons dû utiliser les mauvais facteurs:

3x² + 5x - 8 3x² + 2x - 8

Étape 7. Modifiez votre sélection si nécessaire

Dans notre exemple, essayons 2 et 4 au lieu de 1 et 8:

(3x + 2)(x - 4)

Maintenant, notre terme c est -8, mais notre produit extérieur/intérieur (3x * -4) et (2 * x) est -12x et 2x, ce qui combiné ne produira pas le terme b +2x correct.

-12x + 2x = 10x

10x 2x

Étape 8. Inversez la commande si nécessaire

Essayons d'échanger 2 et 4:

(3x + 4)(x - 2)

Maintenant, notre terme c (4 * 2 = 8) est correct, mais le produit extérieur/intérieur est -6x et 4x. Si nous les combinons:

-6x + 4x = 2x

2x -2x Nous sommes assez proches de 2x que nous recherchons, mais le signe est faux.

Étape 9. Vérifiez vos balises si nécessaire

Nous utiliserons le même ordre, mais échangeons les équations qui ont le signe moins:

(3x - 4)(x + 2)

Maintenant, le terme c ne pose aucun problème et le produit extérieur/intérieur actuel est (6x) et (-4x). Parce que:

6x - 4x = 2x

2x = 2x Maintenant, nous pouvons utiliser les 2x positifs du problème d'origine. Ceux-ci doivent être les bons facteurs.

Méthode 2 sur 6: Décomposition

Cette méthode identifiera tous les facteurs possibles des termes a et c et les utilisera pour trouver les facteurs corrects. Si les nombres sont trop gros ou si les devinettes semblent prendre du temps, utilisez cette méthode. Utilisons un exemple:

6x² + 13x + 6

Étape 1. Multipliez le terme a par le terme c

Dans cet exemple, a vaut 6 et c vaut également 6.

6 * 6 = 36

Étape 2. Obtenez le terme b en factorisant et en testant

Nous recherchons deux nombres qui sont des facteurs du produit a * c que nous avons identifié et qui s'additionnent également au terme b (13).

4 * 9 = 36

4 + 9 = 13

Étape 3. Remplacez les deux nombres que vous obtenez dans votre équation en additionnant le terme b

Utilisons k et h pour représenter les deux nombres que nous avons, 4 et 9:

hache² + kx + hx + c

6x² + 4x + 9x + 6

Étape 4. Factoriser le polynôme par regroupement

Disposez les équations de manière à pouvoir prendre le plus grand facteur commun des premier et deuxième termes. Le groupe de facteurs doit être le même. Ajoutez le plus grand facteur commun et placez-le entre parenthèses à côté du groupe de facteurs; le résultat est vos deux facteurs:

6x² + 4x + 9x + 6

2x(3x + 2) + 3(3x + 2)

(2x + 3) (3x + 2)

Méthode 3 sur 6: Triple Play

Semblable à la méthode de décomposition, la méthode triple play examine les facteurs possibles de multiplication des termes a et c et d'utilisation de la valeur de b. Essayez d'utiliser cet exemple d'équation:

8x² + 10x + 2

Étape 1. Multipliez le terme a par le terme c

Comme la méthode d'analyse, cela nous aidera à identifier les candidats pour le terme b. Dans cet exemple, a vaut 8 et c vaut 2.

8 * 2 = 16

Étape 2. Trouvez deux nombres qui, multipliés par des nombres, produisent ce nombre avec une somme totale égale au terme b

Cette étape est la même que l'analyse: nous testons et éliminons les candidats pour la constante. Le produit des termes a et c est 16, et le terme c est 10:

2 * 8 = 16

8 + 2 = 10

Étape 3. Prenez ces deux nombres et testez-les en les branchant sur la formule triple play

Prenez nos deux nombres de l'étape précédente - appelons-les h et k - et insérez-les dans l'équation:

((ax + h)(ax + k))/ un

Nous obtiendrons:

((8x + 8)(8x + 2)) / 8

Étape 4. Remarquez si l'un des deux termes du numérateur est divisible par un

Dans cet exemple, nous avons vu si (8x + 8) ou (8x + 2) est divisible par 8. (8x + 8) est divisible par 8, nous allons donc diviser ce terme par a et laisser les autres facteurs seuls.

(8x + 8) = 8(x + 1)

Le terme entre parenthèses ici est ce qui reste après avoir été divisé par le terme a.

Étape 5. Prenez le plus grand facteur commun (GCF) d'un ou des deux termes, le cas échéant

Dans cet exemple, le deuxième terme a un GCF de 2, car 8x + 2 = 2(4x + 1). Combinez ce résultat avec le terme que vous avez obtenu à l'étape précédente. Ce sont les facteurs de votre équation.

2(x + 1)(4x + 1)

Méthode 4 sur 6: Différence de racines carrées

Certains coefficients dans les polynômes peuvent être des « carrés », ou le produit de deux nombres. L'identification de ces carrés vous permet de factoriser plusieurs polynômes plus rapidement. Essayez cette équation:

27x² - 12 = 0

Étape 1. Retirez le plus grand facteur commun si possible

Dans ce cas, on voit que 27 et 12 sont divisibles par 3, on obtient donc:

27x² - 12 = 3(9x² - 4)

Étape 2. Déterminez si les coefficients de votre équation sont des nombres carrés

Pour utiliser cette méthode, vous devez être capable de prendre la racine carrée des deux termes. (Notez que nous ignorerons le signe négatif - parce que ces nombres sont des carrés, ils peuvent être le produit de deux nombres positifs ou négatifs)

9x² = 3x * 3x et 4 = 2 * 2

Étape 3. En utilisant la racine carrée que vous avez obtenue, notez les facteurs

Nous allons prendre les valeurs de a et c de notre étape ci-dessus - a = 9 et c = 4, puis trouver la racine carrée - a = 3 et c = 2. Le résultat est le coefficient de l'équation factorielle:

27x² - 12 = 3(9x² - 4) = 3(3x + 2)(3x - 2)

Méthode 5 sur 6: Formule quadratique

Si tout le reste échoue et que l'équation ne peut pas être entièrement factorisée, utilisez la formule quadratique. Essayez cet exemple:

X² + 4x + 1 = 0

Étape 1. Entrez les valeurs requises dans la formule quadratique:

x = -b ± (b² - 4ac)

2a

On obtient l'équation:

x = -4 ± (4² - 4•1•1) / 2

Étape 2. Trouvez la valeur de x

Vous obtiendrez deux valeurs. Comme indiqué ci-dessus, nous obtenons deux réponses:

x = -2 + (3) ou x = -2 - (3)

Étape 3. Utilisez votre valeur x pour trouver les facteurs

Branchez les valeurs x que vous avez dans les deux équations polynomiales en tant que constantes. Le résultat est vos facteurs. Si nous appelons nos réponses h et k, nous écrivons les deux facteurs comme suit:

(x - h) (x - k)

Dans cet exemple, notre réponse finale est:

(x - (-2 + (3))(x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3))(x + 2 + (3))

Méthode 6 sur 6: Utilisation de la calculatrice

Si vous êtes autorisé à utiliser une calculatrice, une calculatrice graphique rend le processus de factorisation beaucoup plus facile, en particulier pour les tests standardisés. Ces instructions concernent la calculatrice graphique TI. Nous allons utiliser un exemple d'équation:

y = x² x 2

Étape 1. Entrez votre équation dans la calculatrice

Vous utiliserez la factorisation de l'équation, qui s'écrit [Y =] à l'écran.

Étape 2. Représentez graphiquement votre équation à l'aide de votre calculatrice

Lorsque vous avez entré votre équation, appuyez sur [GRAPH] - vous verrez une courbe lisse qui représente votre équation (et la forme est une courbe car nous utilisons des polynômes).

Étape 3. Trouvez l'emplacement où la courbe croise l'axe des x

Étant donné que les équations polynomiales sont généralement écrites sous la forme ax² + bx + c = 0, cette intersection est la deuxième valeur de x qui fait que l'équation est nulle:

(-1, 0), (2, 0)

x = -1, x = 2

Si vous ne pouvez pas identifier l'intersection du graphique avec l'axe des x en le regardant, appuyez sur [2nd] puis sur [TRACE]. Appuyez sur [2] ou sélectionnez zéro. Déplacez le curseur à gauche de l'intersection et appuyez sur [ENTER]. Déplacez le curseur à droite de l'intersection et appuyez sur [ENTER]. Déplacez le curseur aussi près que possible de l'intersection et appuyez sur [ENTER]. La calculatrice trouvera la valeur de x. Faites de même pour les autres intersections

Étape 4. Branchez la valeur x obtenue à l'étape précédente dans l'équation factorielle à deux

Si nous nommions nos deux valeurs x h et k, les équations que nous utiliserions seraient:

(x - h)(x - k) = 0

Ainsi, nos deux facteurs sont:

(x - (-1))(x - 2) = (x + 1)(x - 2)

Des astuces

• Si vous avez une calculatrice TI-84 (graphique), il existe un programme appelé SOLVER qui résoudra vos équations quadratiques. Ce programme résoudra des polynômes de n'importe quel degré.
• Si un terme n'est pas écrit, le coefficient est 0. Il est utile de réécrire l'équation si c'est le cas, par exemple: x² + 6 = x² +0x+6.
• Si vous avez factorisé votre polynôme à l'aide d'une formule quadratique et obtenu la réponse en termes de racines, vous souhaiterez peut-être convertir la valeur de x en une fraction à vérifier.
• Si un terme n'a pas de coefficient écrit, le coefficient est 1, par exemple: x² = 1x².
• Après suffisamment de pratique, vous serez finalement capable de factoriser des polynômes dans votre tête. Jusqu'à ce que vous puissiez le faire, assurez-vous de toujours écrire le mode d'emploi.