3 façons de factoriser des équations algébriques

2024 Auteur: Jason Gerald | [email protected]. Dernière modifié: 2024-01-15 08:14

En mathématiques, affacturage est un moyen de trouver des nombres ou des expressions qui, une fois multipliés, produiront un nombre ou une équation donné. L'affacturage est une compétence utile pour apprendre à résoudre des problèmes d'algèbre simples; la capacité de bien factoriser devient importante lorsqu'il s'agit d'équations quadratiques et d'autres formes de polynômes. La factorisation peut être utilisée pour simplifier les expressions algébriques afin de rendre leurs solutions plus faciles. L'affacturage peut même vous donner la possibilité d'éliminer certaines réponses possibles, beaucoup plus rapidement que de les résoudre manuellement.

Étape

Méthode 1 sur 3: Factorisation des nombres et expressions algébriques simples

Étape 1. Comprendre la définition de la factorisation lorsqu'elle est appliquée à des nombres simples

L'affacturage est un concept simple, mais en pratique, il peut être difficile lorsqu'il est appliqué à des équations complexes. Par conséquent, il est plus facile d'aborder le concept de factorisation en commençant par des nombres simples, puis en procédant à des équations simples, avant de passer enfin à des applications plus complexes. Les facteurs d'un nombre sont des nombres qui, une fois multipliés, produisent le nombre. Par exemple, les facteurs de 12 sont 1, 12, 2, 6, 3 et 4, car 1 × 12, 2 × 6 et 3 × 4 sont égaux à 12.

• Une autre façon de penser est que les facteurs d'un nombre sont des nombres qui peuvent se diviser uniformément en nombre.

• Pouvez-vous trouver tous les facteurs du nombre 60 ? Nous utilisons le nombre 60 à diverses fins (minutes dans une heure, secondes dans une minute, etc.) car il peut être divisible par pas mal d'autres nombres.

  Les facteurs de 60 sont 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 et 60

Étape 2. Comprenez que les expressions variables peuvent également être factorisées

Tout comme les nombres eux-mêmes peuvent être factorisés, les variables avec des coefficients numériques peuvent également être factorisées. Pour cela, il suffit de trouver les facteurs des coefficients variables. Savoir factoriser une variable est très utile pour simplifier les équations algébriques impliquant cette variable.

• Par exemple, la variable 12x peut être écrite comme le produit des facteurs 12 et x. Nous pouvons écrire 12x sous la forme 3(4x), 2(6x), etc., en utilisant les facteurs de 12 qui conviennent le mieux à nos besoins.

  Nous pouvons même factoriser 12x plusieurs fois. En d'autres termes, nous n'avons pas à nous arrêter à 3(4x) ou 2(6x) - nous pouvons factoriser 4x et 6x pour produire 3(2(2x) et 2(3(2x). Bien sûr, ces deux expressions sont équivalents

Étape 3. Appliquer la propriété distributive de la multiplication aux équations algébriques factorielles

En utilisant vos connaissances sur la façon de factoriser à la fois des nombres simples et des variables avec des coefficients, vous pouvez simplifier des équations algébriques simples en trouvant les facteurs que les nombres et les variables partagent dans les équations algébriques. Habituellement, pour simplifier une équation, nous essayons de trouver le plus grand facteur commun. Ce processus de simplification est possible en raison de la propriété distributive de la multiplication, qui s'applique à tout nombre a, b et c. a(b + c) = ab + ac.

• Essayons un exemple de question. Pour factoriser l'équation algébrique 12x + 6, essayons d'abord de trouver le plus grand facteur commun de 12x et 6. 6 est le plus grand nombre qui peut diviser également 12x et 6, nous pouvons donc simplifier l'équation en 6(2x + 1).
• Ce processus s'applique également aux équations avec des nombres et des fractions négatifs. Par exemple, x/2 + 4, peut être simplifié en 1/2(x + 8), et -7x + -21 peut être factorisé en -7(x + 3).

Méthode 2 sur 3: Factorisation des équations quadratiques

Étape 1. Assurez-vous que l'équation est sous forme quadratique (ax² + bx + c = 0).

Les équations quadratiques ont la forme ax² + bx + c = 0, où a, b et c sont des constantes numériques et différentes de 0 (notez que a peut être égal à 1 ou -1). Si vous avez une équation qui a une variable (x) qui a un terme x à la puissance deux ou plus, vous déplacez généralement ces termes dans l'équation en utilisant des opérations algébriques simples pour obtenir 0 de chaque côté du signe égal et de l'axe², etc. d'un autre côté.

• Par exemple, pensons à une équation algébrique. 5x² + 7x - 9 = 4x² + x - 18 peut être simplifié en x² + 6x + 9 = 0, qui est la forme carrée.
• Équations avec la plus grande puissance de x, comme x³, X⁴, etc. ne sont pas des équations quadratiques. Ces équations sont des équations cubiques, à la puissance quatrième, et ainsi de suite, à moins que l'équation puisse être simplifiée pour supprimer ces termes x avec des puissances supérieures à 2.

Étape 2. Dans une équation quadratique, où a = 1, factoriser en (x+d)(x+e), où d × e = c et d + e = b

Si votre équation quadratique est de la forme x² + bx + c = 0 (autrement dit, si le coefficient du terme x² = 1), il est possible (mais pas garanti) qu'une méthode abrégée assez simple puisse être utilisée pour factoriser l'équation. Trouvez deux nombres qui, multipliés, donnent c et additionnés pour produire b. Après avoir recherché ces deux nombres d et e, mettez-les dans l'expression suivante: (x+d)(x+e). Ces deux termes, lorsqu'ils sont multipliés, vous donnent votre équation quadratique - en d'autres termes, ce sont les facteurs de votre équation quadratique.

• Par exemple, pensons à l'équation quadratique x² + 5x + 6 = 0. 3 et 2 sont multipliés pour donner 6 et également additionnés pour donner 5, nous pouvons donc simplifier cette équation en (x + 3)(x + 2).

• La légère différence dans cette méthode abrégée de base réside dans les différences dans les similitudes elles-mêmes:

  • Si l'équation quadratique est de la forme x²-bx+c, votre réponse est sous cette forme: (x - _)(x - _).
  • Si l'équation est de la forme x²+bx+c, votre réponse ressemble à ceci: (x + _)(x + _).
  • Si l'équation est de la forme x²-bx-c, votre réponse est sous la forme (x + _)(x - _).
• Remarque: les nombres dans les blancs peuvent être des fractions ou des décimales. Par exemple, l'équation x² + (21/2)x + 5 = 0 est pris en compte dans (x + 10)(x + 1/2).

Étape 3. Si possible, tenez compte des vérifications

Croyez-le ou non, pour les équations quadratiques simples, l'une des méthodes de factorisation autorisées consiste à examiner le problème, puis à considérer les réponses possibles jusqu'à ce que vous trouviez la bonne réponse. Cette méthode est également connue sous le nom de factorisation par examen. Si l'équation est sous la forme ax²+bx+c et a>1, votre réponse factorielle est sous la forme (dx +/- _)(ex +/- _), où d et e sont des constantes de nombres non nuls qui, multipliés, donnent a. Ni d ni e (ou les deux) ne peuvent être 1, bien que cela ne soit pas obligatoire. Si les deux sont à 1, vous utilisez essentiellement la méthode abrégée décrite ci-dessus.

Pensons à un exemple de problème. 3x² - 8x + 4 semble difficile au premier abord. Cependant, une fois que nous nous rendons compte que 3 n'a que deux facteurs (3 et 1), cette équation devient plus facile car nous savons que notre réponse doit être de la forme (3x +/- _)(x +/- _). Dans ce cas, ajouter -2 aux deux blancs donne la bonne réponse. -2 × 3x = -6x et -2 × x = -2x. -6x et -2x totalisent -8x. -2 × -2 = 4, nous pouvons donc voir que les termes pris en compte entre parenthèses lorsqu'ils sont multipliés produisent l'équation d'origine.

Étape 4. Résolvez en complétant le carré

Dans certains cas, les équations quadratiques peuvent être rapidement et facilement factorisées à l'aide d'identités algébriques spéciales. Toute équation quadratique sous la forme x² + 2xh + h² = (x + h)². Donc, si dans votre équation votre valeur b est le double de la racine carrée de votre valeur c, votre équation peut être factorisée en (x + (root(c)))².

Par exemple, l'équation x² +6x+9 a cette forme. 3² est 9 et 3 × 2 est 6. Ainsi, nous savons que la forme factorielle de cette équation est (x + 3)(x + 3), ou (x + 3)².

Étape 5. Utilisez des facteurs pour résoudre des équations quadratiques

Quelle que soit la façon dont vous avez factorisé votre équation quadratique, une fois l'équation factorisée, vous pouvez trouver des réponses possibles à la valeur de x en rendant chaque facteur égal à zéro et en les résolvant. Puisque vous recherchez la valeur de x qui rend votre équation égale à zéro, la valeur de x qui rend tout facteur égal à zéro est une réponse possible à votre équation quadratique.

Revenons à l'équation x² + 5x + 6 = 0. Cette équation est factorisée en (x + 3)(x + 2) = 0. Si l'un des facteurs est égal à 0, toutes les équations sont égales à 0, donc nos réponses possibles pour x sont des nombres - un nombre qui fait (x + 3) et (x + 2) sont égaux à 0. Ces nombres sont respectivement -3 et -2.

Étape 6. Vérifiez vos réponses – certaines réponses peuvent être trompeuses

Lorsque vous trouvez des réponses possibles pour x, rebranchez-les dans votre équation d'origine pour voir si la réponse est correcte. Parfois, les réponses que vous trouvez ne rendent pas l'équation d'origine égale à zéro lors de la nouvelle saisie. Nous appelons cette réponse déviante et l'ignorons.

• Mettons -2 et -3 dans x² + 5x + 6 = 0. Premièrement, -2:

  • (-2)² + 5(-2) + 6 = 0
  • 4 + -10 + 6 = 0
  • 0 = 0. Cette réponse est correcte, donc -2 est la bonne réponse.

• Maintenant, essayons -3:

  • (-3)² + 5(-3) + 6 = 0
  • 9 + -15 + 6 = 0
  • 0 = 0. Cette réponse est également correcte, donc -3 est la bonne réponse.

Méthode 3 sur 3: Factorisation d'autres équations

Étape 1. Si l'équation est exprimée sous la forme a²-b², factoriser dans (a+b)(a-b).

Les équations à deux variables ont des facteurs différents de ceux de l'équation quadratique de base. Pour l'équation a²-b² tout ce où a et b ne sont pas égaux à 0, les facteurs de l'équation sont (a+b)(a-b).

Par exemple, l'équation 9x² - 4 ans² = (3x + 2y)(3x - 2y).

Étape 2. Si l'équation est exprimée sous la forme a²+2ab+b², factoriser en (a+b)².

Notez que, si le trinôme est de la forme a²-2ab+b², les facteurs de forme sont légèrement différents: (a-b)².

4x équation² + 8xy + 4y² peut être réécrit en 4x² + (2 × 2 × 2)xy + 4y². Maintenant, nous pouvons voir que la forme est correcte, nous pouvons donc être sûrs que les facteurs de notre équation sont (2x + 2y)²

Étape 3. Si l'équation est exprimée sous la forme a³-b³, factoriser dans (a-b)(a²+ab+b²).

Enfin, il a déjà été mentionné que des équations cubiques et des puissances encore plus élevées peuvent être factorisées, bien que le processus de factorisation devienne rapidement très compliqué.

Par exemple, 8x³ - 27 ans³ pris en compte dans (2x - 3y) (4x² + ((2x)(3a)) + 9a²)

Des astuces

• une²-b² peut être pris en compte, un²+b² ne peut pas être factorisé.
• Rappelez-vous comment factoriser une constante. Cela pourrait aider.
• Soyez prudent avec les fractions dans le processus de factorisation et travaillez avec les fractions correctement et avec soin.
• Si vous avez un trinôme de la forme x²+bx+ (b/2)², le facteur de forme est (x+(b/2))². (Vous pouvez rencontrer cette situation lorsque vous remplissez le carré.)
• Rappelez-vous que a0=0 (la propriété du produit de zéro).