Dans un « système d'équations », on vous demande de résoudre deux ou plusieurs équations simultanément. Lorsque les deux équations ont deux variables différentes, par exemple x et y, la solution peut sembler difficile au premier abord. Heureusement, une fois que vous savez ce que vous devez faire, vous pouvez simplement utiliser vos compétences algébriques (et la science du calcul des fractions) pour résoudre le problème. Apprenez également à dessiner ces deux équations si vous êtes un apprenant visuel ou si vous êtes requis par l'enseignant. Les dessins vous aideront à identifier le sujet ou à vérifier les résultats de votre travail. Cependant, cette méthode est plus lente que les autres méthodes et ne peut pas être utilisée pour tous les systèmes d'équations.
Étape
Méthode 1 sur 3: Utilisation de la méthode de substitution
Étape 1. Déplacez les variables du côté opposé de l'équation
La méthode de substitution commence par « trouver la valeur de x » (ou toute autre variable) dans l'une des équations. Par exemple, disons que l'équation du problème est 4x + 2y = 8 et 5x + 3y = 9. Commencez par travailler sur la première équation. Réorganisez l'équation en soustrayant 2y des deux côtés. Ainsi, vous obtenez 4x = 8 - 2 ans.
Cette méthode utilise souvent des fractions à la fin. Si vous n'aimez pas compter les fractions, essayez la méthode d'élimination ci-dessous
Étape 2. Divisez les deux côtés de l'équation pour "trouver la valeur de x"
Une fois que le terme x (ou toute variable que vous utilisez) est seul d'un côté de l'équation, divisez les deux côtés de l'équation par les coefficients de sorte que seule la variable reste. Par exemple:
- 4x = 8 - 2 ans
- (4x)/4 = (8/4) - (2a/4)
- x = 2 - y
Étape 3. Branchez la valeur x de la première équation dans la deuxième équation
Assurez-vous de le brancher dans la deuxième équation, au lieu de celle sur laquelle vous venez de travailler. Substituer (remplacer) la variable x dans la deuxième équation. Ainsi, la deuxième équation n'a plus qu'une seule variable. Par exemple:
- Est connu x = 2 - y.
- Votre deuxième équation est 5x + 3y = 9.
- Après avoir échangé la variable x dans la deuxième équation avec la valeur x de la première équation, nous obtenons "2 - y": 5(2 - y) + 3y = 9.
Étape 4. Résolvez les variables restantes
Maintenant, votre équation n'a qu'une seule variable. Calculer l'équation avec des opérations algébriques ordinaires pour trouver la valeur de la variable. Si les deux variables s'annulent, passez directement à la dernière étape. Sinon, vous obtiendrez une valeur pour l'une des variables:
- 5(2 - y) + 3y = 9
- 10 – (5/2)y + 3y = 9
- 10 – (5/2)y + (6/2)y = 9 (Si vous ne comprenez pas cette étape, apprenez à additionner des fractions.)
- 10 + y = 9
- y = -1
- y = -2
Étape 5. Utilisez la réponse obtenue pour trouver la vraie valeur de x dans la première équation
Ne vous arrêtez pas tout de suite car vos calculs ne sont pas encore terminés. Vous devez brancher la réponse obtenue dans la première équation pour trouver la valeur des variables restantes:
- Est connu y = -2
- Une des équations de la première équation est 4x + 2y = 8. (Vous pouvez utiliser l'un ou l'autre.)
- Remplacez la variable y par -2: 4x + 2(-2) = 8.
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
Étape 6. Sachez quoi faire si les deux variables s'annulent
Quand vous entrez x=3y+2 ou une réponse similaire à la deuxième équation, ce qui signifie que vous essayez d'obtenir une équation qui n'a qu'une seule variable. Parfois, vous obtenez juste l'équation sans pour autant variable. Vérifiez votre travail et assurez-vous d'avoir mis (réorganisé) l'équation un dans l'équation deux, au lieu de revenir à la première équation. Lorsque vous êtes sûr de n'avoir rien fait de mal, écrivez l'un des résultats suivants:
- Si l'équation n'a pas de variables et n'est pas vraie (par exemple, 3 = 5), ce problème pas de réponse. (Lorsque cela est représenté graphiquement, ces deux équations sont parallèles et ne se rencontrent jamais.)
- Si l'équation n'a pas de variables et Correct, (par exemple 3 = 3), ce qui signifie que la question a réponses illimitées. L'équation un est exactement la même que l'équation deux. (Lorsqu'elles sont représentées graphiquement, ces deux équations sont la même ligne.)
Méthode 2 sur 3: Utilisation de la méthode d'élimination
Étape 1. Trouvez les variables mutuellement exclusives
Parfois, l'équation du problème est déjà s'annuler lorsqu'ils sont additionnés. Par exemple, si vous faites l'équation 3x + 2y = 11 et 5x - 2 ans = 13, les termes "+2y" et "-2y" s'annuleront et supprimeront la variable "y" de l'équation. Regardez l'équation du problème et voyez s'il y a des variables qui s'annulent, comme dans l'exemple. Sinon, passez à l'étape suivante.
Étape 2. Multipliez l'équation par un afin qu'une variable soit supprimée
(Sautez cette étape si les variables s'annulent déjà.) Si l'équation n'a pas de variables qui s'annulent d'elles-mêmes, modifiez l'une des équations pour qu'elles puissent s'annuler. Jetez un œil aux exemples suivants afin de les comprendre facilement:
- Les équations du problème sont 3x - y = 3 et - x + 2y = 4.
- Modifions la première équation pour que la variable oui s'annulent mutuellement. (Vous pouvez utiliser la variable X. La réponse finale obtenue sera la même.)
- Variable - oui dans la première équation doit être éliminé par + 2 ans dans la deuxième équation. Comment multiplier - oui avec 2.
- Multipliez les deux membres de l'équation par 2, comme suit: 2(3x - y)=2(3), donc 6x - 2y = 6. Maintenant, tribu - 2 ans s'annuleront avec +2a dans la deuxième équation.
Étape 3. Combinez les deux équations
L'astuce consiste à ajouter le côté droit de la première équation au côté droit de la deuxième équation, et d'ajouter le côté gauche de la première équation au côté gauche de la deuxième équation. Si cela est fait correctement, l'une des variables s'annulera. Essayons de continuer le calcul de l'exemple précédent:
- Tes deux équations sont 6x - 2y = 6 et - x + 2y = 4.
- Additionnez les membres de gauche des deux équations: 6x - 2y - x + 2y = ?
- Additionnez les membres de droite des deux équations: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
Étape 4. Obtenez la dernière valeur de variable
Simplifiez votre équation composée et travaillez avec l'algèbre standard pour obtenir la valeur de la dernière variable. Si, après simplification, l'équation n'a pas de variables, passez à la dernière étape de cette section.
Sinon, vous obtiendrez une valeur pour l'une des variables. Par exemple:
- Est connu 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
- Variables de groupe X et oui ensemble: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
- Simplifiez l'équation: 5x = 10
- Trouvez la valeur x: (5x)/5 = 10/5, obtenir x = 2.
Étape 5. Trouvez la valeur d'une autre variable
Vous avez trouvé la valeur d'une variable, mais qu'en est-il de l'autre ? Branchez votre réponse dans l'une des équations pour trouver la valeur de la variable restante. Par exemple:
- Est connu x = 2, et l'une des équations du problème est 3x - y = 3.
- Remplacez la variable x par 2: 3(2) - y = 3.
- Trouvez la valeur de y dans l'équation: 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y, donc 6 = 3 + y
- 3 = oui
Étape 6. Sachez quoi faire lorsque les deux variables s'annulent
Parfois, la combinaison de deux équations donne une équation qui n'a pas de sens ou ne vous aide pas à résoudre le problème. Révisez votre travail et si vous êtes sûr de n'avoir rien fait de mal, écrivez l'une des deux réponses suivantes:
- Si l'équation combinée n'a pas de variables et n'est pas vraie (par exemple, 2 = 7), ce problème pas de réponse. Cette réponse s'applique aux deux équations. (Lorsque cela est représenté graphiquement, ces deux équations sont parallèles et ne se rencontrent jamais.)
- Si l'équation combinée n'a pas de variables et Correct, (par exemple 0 = 0), ce qui signifie que la question a réponses illimitées. Ces deux équations sont identiques. (Lorsqu'elles sont représentées graphiquement, ces deux équations sont la même ligne.)
Méthode 3 sur 3: tracer un graphique d'équations
Étape 1. N'exécutez cette méthode que lorsque vous y êtes invité
À moins que vous n'utilisiez un ordinateur ou une calculatrice graphique, cette méthode ne peut fournir que des réponses approximatives. Votre professeur ou votre manuel peut vous dire d'utiliser cette méthode pour prendre l'habitude de dessiner des équations sous forme de lignes. Cette méthode peut également être utilisée pour vérifier la réponse à l'une des méthodes ci-dessus.
L'idée principale est que vous devez décrire les deux équations et trouver leur point d'intersection. La valeur de x et y à ce point d'intersection est la réponse au problème
Étape 2. Trouvez les valeurs y des deux équations
Ne combinez pas les deux équations et modifiez chaque équation pour que le format soit "y = _x + _". Par exemple:
- Votre première équation est 2x + y = 5. Changer pour y = -2x + 5.
- Votre première équation est - 3x + 6y = 0. Changer pour 6y = 3x + 0, et simplifier à y = x + 0.
- Si tes deux équations sont exactement les mêmes, la ligne entière est "l'intersection" des deux équations. Écrivez réponses illimitées comme réponse.
Étape 3. Dessinez les axes de coordonnées
Tracez une ligne verticale « axe y » et une ligne « axe x » horizontale sur le papier millimétré. En commençant au point d'intersection des deux axes (0, 0), notez les étiquettes numériques 1, 2, 3, 4, etc.. Après cela, notez les étiquettes numériques -1, -2, et ainsi de suite en pointant séquentiellement vers le bas sur l'axe des y et vers la gauche sur l'axe des x.
- Si vous n'avez pas de papier quadrillé, utilisez une règle pour vous assurer que l'espacement entre chaque nombre est exactement le même.
- Si vous utilisez de grands nombres ou des décimales, nous vous recommandons de mettre votre graphique à l'échelle (par exemple, 10, 20, 30 ou 0, 1, 0, 2, 0, 3 au lieu de 1, 2, 3).
Étape 4. Dessinez le point d'origine de chaque équation
Si l'équation est sous la forme y = _x + _, vous pouvez commencer à tracer un graphique en définissant le point d'intersection de la ligne d'équation avec l'axe des y. La valeur de y est toujours la même que le dernier nombre de l'équation.
-
Poursuivant l'exemple précédent, la première ligne (y = -2x + 5) coupe l'axe des y à
Étape 5.. deuxième ligne (y = x + 0) coupe l'axe des y à 0. (Ces points sont écrits comme (0, 5) et (0, 0) sur le graphique.)
- Si possible, dessinez les première et deuxième lignes avec des stylos ou des crayons de couleurs différentes.
Étape 5. Utilisez la pente pour continuer la ligne
Sous forme d'équation y = _x + _, le chiffre devant le x indique le « niveau de pente » de la ligne. Chaque fois que x est augmenté de un, la valeur de y augmentera du nombre de niveaux de pente. Utilisez ces informations pour trouver les points de chaque ligne du graphique lorsque x = 1. (Vous pouvez également entrer x = 1 dans chaque équation et trouver la valeur de y.)
- Poursuivant l'exemple précédent, la ligne y = -2x + 5 a une pente de - 2. Au point x = 1, la ligne se déplace vers le bas par 2 à partir du point x = 0. Tracez une ligne reliant (0, 5) à (1, 3).
- Ligne y = x + 0 a une pente de ½. A x = 1, la ligne se déplace balade à partir du point x=0. Tracez une ligne reliant (0, 0) à (1,).
- Si deux droites ont la même pente, les deux ne se croiseront jamais. Ainsi, ce système d'équations n'a pas de réponse. Écrivez pas de réponse comme réponse.
Étape 6. Continuez à connecter les lignes jusqu'à ce que les deux lignes se croisent
Arrêtez de travailler et regardez votre graphique. si les deux lignes se sont croisées, passez à l'étape suivante. Sinon, prenez une décision en fonction de la position de vos deux lignes:
- Si les deux lignes se rapprochent, continuez à relier les points de vos rayures.
- Si les deux lignes s'éloignent l'une de l'autre, revenez en arrière et reliez les points dans des directions opposées, en commençant par x = 1.
- Si les deux lignes sont très éloignées, essayez de sauter par-dessus et de relier les points les plus éloignés, par exemple x = 10.
Étape 7. Trouvez la réponse au point d'intersection
Après l'intersection des deux lignes, la valeur de x et y à ce point est la réponse à votre problème. Si vous êtes chanceux, la réponse sera un nombre entier. Par exemple, dans notre exemple les deux droites se coupent au point (2, 1) donc la réponse est x = 2 et y = 1. Dans certains systèmes d'équations, le point d'intersection de la ligne se situe entre deux nombres entiers, et si le graphique n'est pas très précis, il est difficile de déterminer où se trouvent les valeurs x et y au point d'intersection. Si cela est autorisé, vous pouvez écrire « x est entre 1 et 2 » comme réponse, ou utiliser la méthode de substitution ou d'élimination pour trouver la réponse.
Des astuces
- Vous pouvez vérifier votre travail en insérant les réponses dans l'équation d'origine. Si l'équation s'avère vraie (par exemple 3 = 3), cela signifie que votre réponse est correcte.
- Lorsque vous utilisez la méthode d'élimination, vous devez parfois multiplier l'équation par un nombre négatif afin que les variables puissent s'annuler.
