Lorsque vous trouvez pour la première fois l'équation cubique (qui est de la forme ax 3 + bx 2 + cx + d = 0), peut-être pensez-vous que le problème sera difficile à résoudre. Mais sachez que la résolution d'équations cubiques existe depuis des siècles ! Cette solution, découverte par les mathématiciens italiens Niccolò Tartaglia et Gerolamo Cardano dans les années 1500, est l'une des premières formules connues dans la Grèce et la Rome antiques. Résoudre des équations cubiques peut être un peu difficile, mais avec la bonne approche (et des connaissances suffisantes), même les équations cubiques les plus difficiles peuvent être résolues.
Étape
Méthode 1 sur 3: Résolution à l'aide d'équations quadratiques
Étape 1. Vérifiez si votre équation cubique a une constante
Comme indiqué ci-dessus, la forme de l'équation cubique est ax 3 + bx 2 + cx + d = 0. b, c, et la valeur de d peut être 0 sans affecter la forme de cette équation cubique; cela signifie essentiellement que l'équation cubique ne doit pas toujours inclure la valeur de bx 2, cx ou d pour être une équation cubique. Pour commencer à utiliser ce moyen assez simple de résoudre des équations cubiques, vérifiez si votre équation cubique a une constante (ou une valeur de d). Si votre équation n'a pas de constante ou de valeur pour d, vous pouvez utiliser une équation quadratique pour trouver la réponse à l'équation cubique après quelques étapes.
D'un autre côté, si votre équation a une valeur constante, vous aurez besoin d'une autre solution. Voir les étapes ci-dessous pour d'autres approches
Étape 2. Factorisez la valeur x à partir de l'équation cubique
Étant donné que votre équation n'a pas de valeur constante, tous ses composants ont la variable x. Cela signifie que cette valeur de x peut être factorisée hors de l'équation pour la simplifier. Faites cette étape et réécrivez votre équation cubique sous la forme x (ax 2 + bx + c).
Par exemple, disons que l'équation cubique d'origine ici est 3 x 3 + -2x 2 + 14 x = 0. En factorisant une variable x de cette équation, on obtient l'équation x (3 x 2 + -2 x + 14) = 0.
Étape 3. Utilisez des équations quadratiques pour résoudre les équations entre parenthèses
Vous remarquerez peut-être que certaines de vos nouvelles équations, qui sont entre parenthèses, sont sous la forme d'une équation quadratique (ax 2 + bx + c). Cela signifie que nous pouvons trouver la valeur nécessaire pour rendre cette équation égale à zéro en branchant a, b et c dans la formule de l'équation quadratique ({- b +/-√ (b 2- 4 ac)}/2 a). Effectuez ces calculs pour trouver deux réponses à votre équation cubique.
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Dans notre exemple, branchez les valeurs de a, b et c (3, -2 et 14, respectivement) dans l'équation quadratique comme suit:
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- {- b +/-√ (b 2- 4 ac)}/2 a
- {-(-2) +/-√ ((-2)2- 4(3)(14))}/2(3)
- {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6
- {2 +/-√ (4 - (168)}/6
- {2 +/-√ (-164)}/6
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Réponse 1:
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- {2 + √(-164)}/6
- {2 + 12,8 je }/6
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Réponse 2:
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- {2 - 12,8 i }/6
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Étape 4. Utilisez des zéros et votre réponse à votre équation quadratique comme réponse à votre équation cubique
Les équations quadratiques auront deux réponses, tandis que les équations cubiques auront trois réponses. Vous connaissez déjà deux réponses sur trois; que vous obtenez de la partie "au carré" de l'équation entre parenthèses. Si votre équation cubique peut être résolue par "factorisation" comme celle-ci, votre troisième réponse est presque toujours 0. En sécurité! Vous venez de résoudre une équation cubique.
La raison pour laquelle cette méthode fonctionne est le fait fondamental que « tout nombre multiplié par zéro est égal à zéro ». Lorsque vous factorisez votre équation sous la forme x (ax 2 + bx + c) = 0, vous le divisez simplement en deux "parties"; une partie est la variable x sur le côté gauche et l'autre partie est l'équation quadratique entre parenthèses. Si l'une de ces deux parties est nulle, alors toute l'équation sera également nulle. Ainsi, les deux réponses à l'équation quadratique entre parenthèses, qui la rendraient nulle, sont les réponses à l'équation cubique, ainsi que 0 lui-même - ce qui rendrait la partie de gauche également nulle.
Méthode 2 sur 3: Recherche de réponses entières à l'aide d'une liste de facteurs
Étape 1. Assurez-vous que votre équation cubique a une valeur constante
Bien que les méthodes décrites ci-dessus soient assez faciles à utiliser car vous n'avez pas besoin d'apprendre une nouvelle technique de calcul pour les utiliser, elles ne vous aideront pas toujours à résoudre des équations cubiques. Si votre équation cubique est de la forme ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, où la valeur de d n'est pas égale à zéro, la méthode de "factorisation" ci-dessus ne fonctionne pas, vous devrez donc utiliser l'une des méthodes de cette section pour résoudre ce problème.
Par exemple, disons que nous avons l'équation 2 x 3 + 9x 2 + 13x = -6. Dans ce cas, pour obtenir zéro du côté droit de l'équation, nous devons ajouter 6 des deux côtés. Après cela, nous obtiendrons une nouvelle équation 2 x 3 + 9x 2 + 13 x + 6 = 0, avec une valeur de d = 6, on ne peut donc pas utiliser la méthode de "factorisation" comme dans la méthode précédente.
Étape 2. Trouvez les facteurs de a et d
Pour résoudre votre équation cubique, commencez par trouver le facteur de a (le coefficient de x 3) et d (la valeur constante à la fin de l'équation). N'oubliez pas que les facteurs sont des nombres qui peuvent être multipliés les uns par les autres pour produire un certain nombre. Par exemple, puisque vous pouvez obtenir 6 en multipliant 6 × 1 et 2 × 3, 1, 2, 3 et 6 sont des facteurs de 6.
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Dans l'exemple de problème que nous utilisons, a = 2 et d = 6. Le facteur 2 est 1 et 2. Alors que le facteur 6 est 1, 2, 3 et 6.
Étape 3. Divisez le facteur a par le facteur d
Ensuite, listez les valeurs que vous obtenez en divisant chaque facteur de a par chaque facteur de d. Ce calcul donne généralement de nombreuses valeurs fractionnaires et plusieurs nombres entiers. La valeur entière pour résoudre votre équation cubique est l'un des entiers obtenus à partir du calcul.
Dans notre équation, divisez la valeur du facteur de a (1, 2) par le facteur de d (1, 2, 3, 6) et obtenez les résultats suivants: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2, et 2/3. Ensuite, ajoutez des valeurs négatives à la liste, et nous obtenons: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3 et -2/3. La réponse à l'équation cubique - qui est un nombre entier, est sur la liste.
Étape 4. Utilisez la division synthétique pour vérifier manuellement vos réponses
Une fois que vous avez une liste de valeurs comme celle ci-dessus, vous pouvez rechercher les valeurs entières qui sont les réponses à votre équation cubique en entrant chaque entier manuellement et trouver quelle valeur renvoie zéro. Cependant, si vous ne voulez pas passer du temps à faire cela, il existe un moyen de le faire plus rapidement, à savoir avec un calcul appelé division synthétique. Fondamentalement, vous diviseriez votre valeur entière par les coefficients d'origine de a, b, c et d dans votre équation cubique. Si le reste est zéro, alors cette valeur est l'une des réponses à votre équation cubique.
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La division synthétique est un sujet complexe - voir le lien ci-dessous pour plus d'informations. Voici un exemple de la façon de trouver l'une des réponses à votre équation cubique avec division synthétique:
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- -1 | 2 9 13 6
- _| -2-7-6
- _| 2 7 6 0
- Puisque nous obtenons le résultat final égal à 0, nous savons que l'une des réponses entières à notre équation cubique est - 1.
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Méthode 3 sur 3: Utilisation de l'approche discriminante
Étape 1. Écrivez les équations a, b, c et d
Pour trouver la réponse à l'équation cubique de cette manière, nous allons faire beaucoup de calculs avec les coefficients de notre équation. Pour cette raison, c'est une bonne idée de noter les valeurs de a, b, c et d avant d'oublier l'une des valeurs.
Par exemple, pour l'équation x 3 - 3x 2 + 3 x - 1, notez-le comme a = 1, b = -3, c = 3 et d = -1. N'oubliez pas que lorsque la variable x n'a pas de coefficient, sa valeur est 1.
Étape 2. Calculez 0 = b 2 - 3 climatiseurs.
L'approche discriminante pour trouver des réponses aux équations cubiques nécessite des calculs complexes, mais si vous suivez attentivement les étapes, cela peut être très utile pour résoudre des équations cubiques difficiles à résoudre par d'autres moyens. Pour commencer, trouvez la valeur de 0, qui est la première valeur significative de plusieurs dont nous avons besoin, en insérant la valeur appropriée dans la formule b 2 - 3 climatiseurs.
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Dans l'exemple que nous utilisons, nous allons le résoudre comme suit:
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- b 2 - 3 acres
- (-3)2 - 3(1)(3)
- 9 - 3(1)(3)
- 9 - 9 = 0 = 0
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Étape 3. Calculez 1= 2 b 3 - 9 abc + 27 a 2 ré.
La prochaine valeur significative dont nous avons besoin, 1, nécessite un calcul plus long, mais peut être trouvée de la même manière que 0. Branchez la valeur appropriée dans la formule 2 b 3 - 9 abc + 27 a 2 d pour obtenir la valeur de 1.
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Dans cet exemple, nous le résolvons comme suit:
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- 2(-3)3 - 9(1)(-3)(3) + 27(1)2(-1)
- 2(-27) - 9(-9) + 27(-1)
- -54 + 81 - 27
- 81 - 81 = 0 = 1
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Étape 4. Calculer = 12 - 4Δ03) -27 un 2.
Ensuite, on calcule la valeur « discriminante » des valeurs 0 et 1. Le discriminant est un nombre qui vous donne des informations sur la racine du polynôme (vous avez peut-être mémorisé inconsciemment la formule discriminante quadratique: b 2 - 4 climatiseurs). Dans le cas d'une équation cubique, si la valeur du discriminant est positive, alors l'équation a trois réponses en nombres réels. Si la valeur discriminante est égale à zéro, alors l'équation a une ou deux réponses en nombres réels, et certaines des réponses ont la même valeur. Si la valeur est négative, alors l'équation n'a qu'une seule réponse en nombre réel, car le graphique de l'équation croisera toujours l'axe des x au moins une fois.)
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Dans cet exemple, puisque 0 et 1 = 0, il est très facile de trouver la valeur de. Il suffit de le calculer de la manière suivante:
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- 12 - 4Δ03) -27 un 2
- (0)2 - 4(0)3) ÷ -27(1)2
- 0 - 0 ÷ 27
- 0 =, donc notre équation a 1 ou 2 réponses.
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Étape 5. Calculez C = 3(√((Δ12 - 4Δ03) + 1)/ 2).
La dernière valeur qu'il est important pour nous d'obtenir est la valeur de C. Cette valeur nous permet d'obtenir les trois racines de notre équation cubique. Résolvez comme d'habitude, en insérant les valeurs 1 et 0 dans la formule.
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Dans cet exemple, nous obtiendrons la valeur de C en:
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- 3(√((Δ12 - 4Δ03) + 1)/ 2)
- 3√(√((02 - 4(0)3) + (0))/ 2)
- 3√(√((0 - 0) + (0))/ 2)
- 0 = C
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Étape 6. Calculez les trois racines de l'équation avec votre variable
La racine (réponse) de votre équation cubique est déterminée par la formule (b + u C + (Δ0/u C)) / 3 a, où u = (-1 + (-3))/2 et n est égal à 1, 2 ou 3. Insérez vos valeurs dans la formule pour les résoudre - vous devrez peut-être effectuer plusieurs calculs, mais vous devriez obtenir les trois réponses de votre équation cubique !
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Dans cet exemple, nous pourrions le résoudre en vérifiant les réponses lorsque n est égal à 1, 2 et 3. La réponse que nous obtenons de ce calcul est la réponse possible à notre équation cubique - toute valeur que nous insérons dans l'équation cubique et elle donne le même résultat. avec 0, est la bonne réponse. Par exemple, si nous obtenons une réponse égale à 1 si dans l'une de nos expériences de calcul, en branchant la valeur 1 dans l'équation x 3 - 3x 2 + 3 x - 1 donne le résultat final égal à 0. Ainsi
Étape 1. est l'une des réponses à notre équation cubique.
