Cet article explique comment factoriser un polynôme cubique. Nous allons explorer comment factoriser à l'aide de groupements ainsi que d'utiliser des facteurs à partir de termes indépendants.
Étape
Méthode 1 sur 2: Affacturage par regroupement
Étape 1. Groupez le polynôme en deux parties
Regrouper un polynôme en deux moitiés vous permettra de diviser chaque partie séparément.
Supposons que nous utilisons un polynôme: x3 + 3x2 - 6x - 18 = 0. Divisé en (x3 + 3x2) et (- 6x - 18).
Étape 2. Trouvez les facteurs qui sont les mêmes dans chaque section
- De (x3 + 3x2), nous pouvons voir que le même facteur est x2.
- A partir de (- 6x - 18), nous pouvons voir que le facteur égal est -6.
Étape 3. Retirez les facteurs égaux des deux termes
- Retirer le facteur x2 dès la première partie, on obtient x2(x + 3).
- En prenant le facteur -6 de la deuxième partie, on obtient -6(x + 3).
Étape 4. Si chacun des deux termes a le même facteur, vous pouvez combiner les facteurs ensemble
Vous obtiendrez (x + 3)(x2 - 6).
Étape 5. Trouvez la réponse en regardant les racines de l'équation
Si vous avez x2 aux racines de l'équation, rappelez-vous que les nombres positifs et négatifs satisferont l'équation.
Les réponses sont -3, 6 et -√6
Méthode 2 sur 2: Affacturage à l'aide de termes gratuits
Étape 1. Réorganisez l'équation sous la forme aX3+bX2+cX+d.
Supposons que nous utilisons un polynôme: x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0.
Étape 2. Trouvez tous les facteurs de "d"
La constante "d" est un nombre qui n'a aucune variable, telle que "x", à côté.
Les facteurs sont des nombres qui peuvent être multipliés ensemble pour obtenir un autre nombre. Dans ce cas, les facteurs de 10, qui est « d », sont: 1, 2, 5 et 10
Étape 3. Trouvez un facteur qui rend le polynôme égal à zéro
Nous devons déterminer quels facteurs rendent le polynôme égal à zéro lorsque nous substituons des facteurs dans chaque "x" de l'équation.
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Commencez par le premier facteur, qui est 1. Remplacez « 1 » par chaque « x » dans l'équation:
(1)3 - 4(1)2 - 7(1) + 10 = 0.
- Vous obtiendrez: 1 - 4 - 7 + 10 = 0.
- Puisque 0 = 0 est une affirmation vraie, vous savez que x = 1 est la réponse.
Étape 4. Effectuez quelques réglages
Si x = 1, vous pouvez réorganiser l'instruction pour la rendre légèrement différente sans en changer le sens.
"x = 1" est identique à "x - 1 = 0". Vous soustrayez simplement par "1" de chaque côté de l'équation
Étape 5. Prenez le facteur racine de l'équation du reste de l'équation
"(x - 1)" est la racine de l'équation. Vérifiez si vous pouvez factoriser le reste de l'équation. Sortez les polynômes un par un.
- Pouvez-vous factoriser (x - 1) de x3? Non. Mais vous pouvez emprunter -x2 de la deuxième variable, alors vous pouvez la factoriser: x2(x - 1) = x3 - X2.
- Pouvez-vous factoriser (x - 1) du reste de la deuxième variable ? Non. Vous devez emprunter un peu à la troisième variable. Vous devez emprunter 3x à -7x. Cela donnera le résultat -3x(x - 1) = -3x2 + 3x.
- Puisque vous avez pris 3x à partir de -7x, la troisième variable devient -10x et la constante est 10. Pouvez-vous la factoriser ? Oui! -10(x - 1) = -10x + 10.
- Ce que vous faites est de définir la variable de sorte que vous puissiez factoriser (x - 1) de toute l'équation. Vous réorganisez l'équation en quelque chose comme ceci: x3 - X2 - 3x2 + 3x - 10x + 10 = 0, mais l'équation est toujours égale à x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0.
Étape 6. Continuez à substituer avec des facteurs du terme indépendant
Regardez le nombre que vous avez factorisé en utilisant (x - 1) à l'étape 5:
- X2(x - 1) - 3x(x - 1) - 10(x - 1) = 0. Vous pouvez le réorganiser pour le rendre plus facile à factoriser à nouveau: (x - 1)(x2 - 3x - 10) = 0.
- Ici, il suffit de factoriser (x2 - 3x - 10). Le résultat de la factorisation est (x + 2)(x - 5).
Étape 7. Votre réponse est les racines pondérées de l'équation
Vous pouvez vérifier si votre réponse est correcte en insérant chaque réponse, séparément, dans l'équation d'origine.
- (x - 1)(x + 2)(x - 5) = 0. Cela donnera les réponses 1, -2 et 5.
- Branchez -2 dans l'équation: (-2)3 - 4(-2)2 - 7(-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0.
- Branchez 5 dans l'équation: (5)3 - 4(5)2 - 7(5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0.
Des astuces
- Il n'y a pas de polynôme cubique qui ne puisse être factorisé à l'aide de nombres réels car chaque cube a toujours une racine réelle. Un polynôme cubique comme x3 + x + 1 qui a une racine réelle irrationnelle ne peut pas être factorisé dans un polynôme avec des coefficients entiers ou rationnels. Bien qu'il puisse être factorisé par la formule du cube, il ne peut pas être réduit en tant que polynôme entier.
- Un polynôme cubique est le produit de trois polynômes à la puissance un ou le produit d'un polynôme à la puissance un et d'un polynôme à la puissance deux qui ne peut pas être factorisé. Pour des situations comme celle-ci, vous utilisez une division longue après avoir trouvé le premier polynôme de puissance pour obtenir le deuxième polynôme de puissance.
