Le théorème de Pythagore décrit les longueurs des côtés d'un triangle rectangle d'une manière élégante et pratique, de sorte que ce théorème est encore largement utilisé aujourd'hui. Ce théorème stipule que pour tout triangle rectangle, la somme des carrés des côtés non angulaires est égale au carré de l'hypoténuse. En d'autres termes, pour un triangle rectangle dont les côtés perpendiculaires a et b et l'hypoténuse c, une2 + b2 = c2.
Le théorème de Pythagore est l'un des piliers de base de la géométrie élémentaire. Il existe d'innombrables applications utilisant ce théorème, par exemple, pour faciliter la recherche de la distance entre deux points sur un plan de coordonnées.
Étape
Méthode 1 sur 2: Trouver les côtés d'un triangle rectangle
Étape 1. Assurez-vous que votre triangle est un triangle rectangle
Le théorème de Pythagore ne s'applique qu'aux triangles rectangles, donc, avant de continuer, il est très important de s'assurer que vos triangles sont conformes aux propriétés des triangles rectangles. Heureusement, il existe un facteur qui peut indiquer que votre triangle est un triangle rectangle. Votre triangle doit avoir un angle de 90 degrés.
En tant que signe, les triangles rectangles sont souvent marqués de petits carrés pour marquer des angles à 90 degrés, sans utiliser de "courbes" incurvées. Recherchez cette marque particulière dans le coin de votre triangle
Étape 2. Donnez les variables a, b et c pour les côtés de votre triangle
Dans le théorème de Pythagore, les variables a et b représentent les côtés qui se rencontrent au niveau du triangle rectangle, tandis que la variable c représente l'hypoténuse - le côté long opposé à l'angle droit. Donc, pour commencer, marquez les petits côtés de votre triangle avec les variables a et b (peu importe si vous les intervertissez), et marquez l'hypoténuse avec la variable c.
Étape 3. Décidez quel côté du triangle vous voulez résoudre
Le théorème de Pythagore permet aux mathématiciens de trouver la longueur de n'importe quel côté d'un triangle rectangle tant qu'ils connaissent la longueur des deux autres côtés. Déterminez quel côté est inconnu - a, b, et/ou c. Si la longueur de l'un de vos côtés est inconnue, vous êtes prêt à passer à autre chose.
- Par exemple, nous savons que la longueur de l'hypoténuse d'un triangle est de 5 et la longueur de l'un des autres côtés est de 3, mais nous ne sommes pas sûrs de la longueur du troisième côté. Dans ce cas, nous savons que nous cherchons la longueur du troisième côté, et puisque nous connaissons les longueurs des deux autres, nous pouvons le résoudre ! Nous allons travailler sur ce problème avec les étapes suivantes.
- Si vous ne connaissez pas les longueurs de deux côtés, vous devez connaître l'un des côtés pour pouvoir utiliser le théorème de Pythagore. Les fonctions trigonométriques de base peuvent vous aider si vous connaissez un côté d'un triangle qui n'est pas incliné.
Étape 4. Insérez les valeurs bilatérales que vous connaissez déjà dans l'équation
Branchez les longueurs des côtés de votre triangle dans l'équation a2 + b2 = c2. Rappelez-vous que a et b sont des côtés non inclinés, tandis que c est l'hypoténuse.
Dans notre exemple, nous connaissons la longueur d'un des côtés et l'hypoténuse (3 & 5), donc l'équation devient 3² + b² = 5²
Étape 5. Carré
Pour résoudre votre équation, commencez par mettre au carré les côtés connus. Alternativement, si vous trouvez cela plus facile, vous pouvez laisser les longueurs de vos côtés au carré et les mettre au carré plus tard.
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Dans notre exemple, nous allons carré 3 et 5 pour que nous obtenions
Étape 9. da
Étape 25.. Nous pouvons écrire l'équation sous la forme 9 + b² = 25.
Étape 6. Déplacez la variable inconnue de l'autre côté de l'équation
Si nécessaire, utilisez des opérations algébriques de base pour faire passer la variable inconnue de l'autre côté de l'équation et le carré des deux autres variables de l'autre côté. Si vous voulez trouver la longueur de l'hypoténuse, c est déjà de l'autre côté de l'équation, vous n'avez donc rien à faire pour la déplacer.
Dans notre exemple, l'équation actuelle est 9 + b² = 25. Pour déplacer b², soustrayez les deux côtés de l'équation par 9, donc le résultat est b² = 16
Étape 7. Racine carrée des deux côtés de l'équation
Maintenant, une seule variable est au carré d'un côté et le nombre de l'autre. Racine carrée des deux côtés pour trouver la longueur du côté inconnu.
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Dans notre exemple, b² = 16, en prenant la racine carrée des deux côtés donne b = 4. Ainsi, on peut dire que la longueur du côté inconnu du triangle est
Étape 4..
Étape 8. Utilisez le théorème de Pythagore pour trouver les côtés d'un vrai triangle rectangle
La raison pour laquelle le théorème de Pythagore est largement utilisé aujourd'hui est qu'il peut être appliqué à d'innombrables situations pratiques. Apprenez à connaître les triangles rectangles dans la vie réelle - dans toute situation où deux objets ou lignes droites rencontrent un angle droit et le troisième objet ou ligne joint les deux objets ou lignes en diagonale, alors vous pouvez utiliser le théorème de Pythagore pour trouver la longueur du côté l'autre, si les longueurs des deux autres côtés sont connues.
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Essayons un exemple réel qui est un peu plus difficile. Une échelle s'appuie contre un bâtiment. La distance entre le bas de l'escalier et le mur est de 5 mètres. La hauteur des escaliers atteint 20 mètres. Quelle est la longueur de l'échelle?
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5 mètres du mur et 20 mètres de haut nous indiquent les longueurs des côtés du triangle. Étant donné que le mur et le sol (supposé) forment un angle droit et que l'échelle est appuyée en diagonale contre le mur, cet arrangement peut être considéré comme un triangle rectangle avec des longueurs de côté a = 5 et b = 20. La longueur de l'échelle est l'hypoténuse, donc la valeur de c n'est pas connue. Utilisons le théorème de Pythagore:
- a² + b² = c²
- (5)² + (20)² = c²
- 25 + 400 = c²
- 425 = c²
- racine(425) = c
- c = 20,6. La longueur approximative de l'échelle est 20,6 mètres.
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Méthode 2 sur 2: Calcul de la distance entre deux points dans le plan X-Y
Étape 1. Trouvez deux points dans le plan X-Y
Le théorème de Pythagore peut être utilisé facilement pour calculer la distance en ligne droite entre deux points dans le plan X-Y. Tout ce que vous devez savoir, ce sont les coordonnées x et y des deux points. Habituellement, ces coordonnées sont écrites ensemble sous la forme (x, y).
Pour trouver la distance entre ces deux points, nous considérerons chaque point comme l'un des angles non droits d'un triangle rectangle. Cela permettra de trouver facilement les longueurs des côtés a et b, puis de calculer l'hypoténuse c, qui est la distance entre les deux points
Étape 2. Dessinez vos deux points dans l'image
Dans un plan X-Y régulier, chaque point (x, y), x représente une coordonnée horizontale et y représente une coordonnée verticale. Vous pouvez trouver la distance entre les deux points sans la dessiner, mais cela vous donnera une image visuelle que vous pourrez utiliser pour voir si votre réponse est correcte.
Étape 3. Trouvez la longueur du côté non incliné de votre triangle
En utilisant les deux points comme angles du triangle adjacent à l'hypoténuse, trouvez les longueurs des côtés a et b du triangle. Vous pouvez le faire en utilisant une image ou en utilisant la formule |x1 - X2| pour le côté horizontal et |y1 - oui2| pour le côté vertical, avec (x1, oui1) comme premier point et (x2, oui2) comme deuxième point.
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Soit nos deux points (6, 1) et (3, 5). La longueur du côté horizontal de notre triangle est:
- |x1 - X2|
- |3 - 6|
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| -3 | =
Étape 3.
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La longueur du côté vertical est:
- |y1 - oui2|
- |1 - 5|
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| -4 | =
Étape 4.
- Ainsi, dans notre triangle rectangle, le côté a = 3 et le côté b = 4.
Étape 4. Utilisez le théorème de Pythagore pour trouver la longueur de l'hypoténuse
La distance entre deux points est la longueur de l'hypoténuse du triangle dont vous venez de trouver les deux côtés. Utilisez le théorème de Pythagore pour trouver l'hypoténuse, où a est la longueur du premier côté et b est la longueur du deuxième côté.
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Dans notre exemple, nous utilisons les points (3, 5) et (6, 1) dont les longueurs de côté sont 3 et 4, nous pouvons donc trouver l'hypoténuse comme suit:
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- (3)²+(4)²= c²
- c= racine (9+16)
- c= racine (25)
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c= 5. La distance entre (3, 5) et (6, 1) est
Étape 5..
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Des astuces
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L'hypoténuse est toujours:
- opposé à l'angle droit (sans toucher l'angle droit)
- côté le plus long d'un triangle rectangle
- appelé c dans le théorème de Pythagore
- racine (x) signifie la racine carrée de x.
- N'oubliez pas de toujours vérifier vos réponses. Si votre réponse semble fausse, réessayez et réessayez.
- Si le triangle n'est pas un triangle rectangle, vous avez besoin d'informations supplémentaires, pas seulement les longueurs des deux autres côtés.
- Une autre façon de vérifier – le côté le plus long est opposé au plus grand angle et le côté le plus court est opposé au plus petit angle.
- Les chiffres sont la clé pour écrire les valeurs correctes pour a, b et c. Si vous travaillez sur un problème d'histoire, assurez-vous d'abord d'écrire le problème sous forme d'image.
- Si vous ne connaissez que la longueur d'un côté, le théorème de Pythagore ne fonctionne pas. Essayez d'utiliser la trigonométrie (sin, cos, tan) ou les ratios 30-60-90 / 45-45-90.
