Un pentagone est un polygone à cinq côtés droits. La plupart des problèmes que vous trouverez en cours de mathématiques incluront un pentagone régulier avec cinq côtés égaux. Il existe deux manières générales de trouver l'étendue, en fonction de la quantité d'informations dont vous disposez.
Étape
Méthode 1 sur 3: Trouver la zone de longueur latérale et l'apothème
Étape 1. Commencez par les longueurs de côté et l'apothème
Cette méthode peut être utilisée pour des pentagones réguliers à cinq côtés égaux. En plus des longueurs de côté, vous aurez besoin de l'"appothem" du pentagone. L'apothème est une ligne allant du centre du pentagone à l'un des côtés qui coupe le côté à un angle droit de 90º.
- Ne confondez pas l'apothème et le rayon, qui touche l'un des sommets et non le milieu. Si vous ne connaissez que la longueur du côté et le rayon, ignorez cette méthode et passez à la méthode suivante.
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Nous allons utiliser l'exemple d'un pentagone de longueur de côté
Étape 3. unité et apotem
Étape 2. unité.
Étape 2. Divisez le pentagone en cinq triangles
Tracez cinq lignes à partir du centre du pentagone, menant à chaque sommet. Vous avez maintenant cinq triangles.
Étape 3. Trouvez l'aire de l'un des triangles
Chaque triangle a piédestal qui est égal au côté du pentagone. Chaque triangle a aussi haut qui est égal à l'apothème du pentagone. (Rappelez-vous que la hauteur d'un triangle s'étend du sommet du triangle au côté opposé, formant un angle droit.) Pour trouver l'aire d'un triangle, calculez simplement x base x hauteur.
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Dans notre exemple, l'aire du triangle = x 3 x 2 =
Étape 3. unité au carré.
Étape 4. Multipliez par cinq pour trouver la superficie totale
Nous avons divisé le pentagone en cinq triangles égaux. Pour trouver l'aire totale, il suffit de multiplier l'aire d'un des triangles par cinq.
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Dans notre exemple, L(total pentagone) = 5 x L(triangle) = 5 x 3 =
Étape 15. unité au carré.
Méthode 2 sur 3: Recherche de la zone à partir de la longueur du côté
Étape 1. Commencez avec uniquement les longueurs de côté
Cette méthode ne s'applique qu'aux pentagones réguliers qui ont cinq côtés égaux.
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Dans cet exemple, nous utiliserons un pentagone avec une longueur de côté
Étape 7. unité.
Étape 2. Divisez le pentagone en cinq triangles
Tracez une ligne du centre du pentagone à n'importe quel sommet. Répétez cette opération pour tous les points d'angle. Vous avez maintenant cinq triangles, chacun de la même taille.
Étape 3. Divisez le triangle en deux
Tracez une ligne du centre du pentagone à la base de l'un des triangles. Cette ligne doit toucher la base à un angle droit de 90, divisant le triangle en deux triangles égaux plus petits.
Étape 4. Nommez l'un des plus petits triangles
On peut déjà nommer un des côtés et un des angles du plus petit triangle:
- piédestal triangle est de la longueur du côté du pentagone. Dans notre exemple, la longueur de la base est x 7 = 3,5 unités.
- Gros coin au centre du pentagone est toujours 36º. (En partant du centre 360, vous pouvez le diviser en 10 de ces triangles plus petits. 360 10 = 36, donc l'angle dans l'un des triangles est de 36º.)
Étape 5. Calculez la hauteur du triangle. Haut de ce triangle est le côté qui est perpendiculaire (formant un angle droit) avec le côté du pentagone, pointant vers le centre. Nous pouvons utiliser la trigonométrie de base pour trouver la longueur de ce côté:
- Dans un triangle rectangle, tangente d'un angle est égal à la longueur du côté opposé divisée par la longueur du côté adjacent.
- Le côté opposé à l'angle de 36º est la base du triangle (la moitié du côté du pentagone). Le côté adjacent à l'angle 36º est la hauteur du triangle.
- tan (36º) = opposé / adjacent
- Dans notre exemple, bronzage (36º) = 3,5 / hauteur
- hauteur x bronzage (36º) = 3, 5
- hauteur = 3,5 / bronzage (36º)
- hauteur = (environ) 4, 8 unité.
Étape 6. Trouvez l'aire du triangle
L'aire d'un triangle est base x hauteur. (L = à). Maintenant que vous connaissez la hauteur, entrez ces valeurs pour trouver l'aire de votre petit triangle.
Dans notre exemple, l'aire du petit triangle = at = (3, 5)(4, 8) = 8, 4 unités au carré
Étape 7. Multipliez pour trouver l'aire du pentagone
L'un de ces triangles plus petits fait 1/10 de l'aire du pentagone. Pour trouver l'aire totale, multipliez l'aire du plus petit triangle par 10.
Dans notre exemple, l'aire de tout le pentagone = 8, 4 x 10 = 84 unité au carré.
Méthode 3 sur 3: Utilisation de formules
Étape 1. Utilisez le périmètre et l'apothème
L'apothème est une ligne partant du centre d'un pentagone qui touche un côté à angle droit. Si on vous donne la longueur de l'apothème, vous pouvez utiliser cette formule simple.
- Aire d'un pentagone régulier = ka/2, où k = périmètre et a = apothème.
- Si vous ne connaissez pas le périmètre, calculez le périmètre à partir de la longueur du côté: k = 5s, où s est la longueur du côté.
Étape 2. Utilisez les longueurs de côté
Si vous ne connaissez que les longueurs des côtés, utilisez la formule suivante:
- Aire du pentagone régulier = (5 s 2) / (4tan(36º)), où s = longueur du côté.
- bronzage (36º) = (5-2√5). Donc, si votre calculatrice n'a pas de fonction tan, utilisez la formule Aire = (5 s 2) / (4√(5-2√5)).
Étape 3. Choisissez une formule qui utilise uniquement le rayon
Vous pouvez même trouver la zone si vous ne connaissez que le rayon. Utilisez cette formule:
Aire du pentagone régulier = (5/2) r 2sin(72º), où r est le rayon.
Des astuces
- Les exemples donnés ici utilisent des valeurs arrondies pour faciliter le calcul. Si vous mesurez le polygone réel avec les longueurs de côté données, vous obtiendrez des résultats légèrement différents pour les autres longueurs et surfaces.
- Si possible, utilisez la méthode géométrique et la méthode de la formule et comparez les résultats pour vous assurer d'avoir la bonne réponse. Vous pourriez obtenir une réponse légèrement différente si vous entrez la formule en une seule fois (puisque vous n'arrondirez pas lorsque vous effectuez le calcul), mais la réponse devrait être à peu près la même.
- Un pentagone irrégulier, ou un pentagone à côtés inégaux, est plus difficile à apprendre. La meilleure approche consiste généralement à diviser le pentagone en triangles et à additionner l'aire de chaque triangle. Vous devrez peut-être également dessiner la forme la plus grande autour du pentagone, calculer son aire et soustraire l'aire de l'extérieur du pentagone.
- Les formules sont dérivées de moyennes géométriques, presque les mêmes que celles décrites ici. Remarquez si vous pouvez comprendre comment obtenir les formules. La formule du rayon est plus difficile à dériver que les autres formules (indice: vous aurez besoin d'une identité d'angle double ou double).
