Une équation rationnelle est une fraction avec une ou plusieurs variables au numérateur ou au dénominateur. Une équation rationnelle est toute fraction qui implique au moins une équation rationnelle. Comme les équations algébriques ordinaires, les équations rationnelles sont résolues en effectuant la même opération des deux côtés de l'équation jusqu'à ce que les variables puissent être transférées de chaque côté de l'équation. Deux techniques spéciales, la multiplication croisée et la recherche du plus petit dénominateur commun, sont des moyens très utiles pour déplacer des variables et résoudre des équations rationnelles.
Étape
Méthode 1 sur 2: Multiplication croisée
Étape 1. Si nécessaire, réorganisez votre équation pour obtenir une fraction d'un côté de l'équation
La multiplication croisée est un moyen rapide et facile de résoudre des équations rationnelles. Malheureusement, cette méthode ne peut être utilisée que pour les équations rationnelles qui contiennent au moins une équation ou fraction rationnelle de chaque côté de l'équation. Si votre équation ne répond pas à ces exigences de produits croisés, vous devrez peut-être utiliser des opérations algébriques pour déplacer les pièces aux bons endroits.
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Par exemple, l'équation (x + 3)/4 - x/(-2) = 0 peut facilement être mise sous forme de produit croisé en ajoutant x/(-2) aux deux côtés de l'équation, de sorte qu'elle devienne (x + 3)/4 = x/(-2).
Notez que les nombres décimaux et entiers peuvent être convertis en fractions en donnant le dénominateur 1. (x + 3)/4 – 2, 5 = 5, par exemple, peut être réécrit comme (x + 3)/4 = 7, 5/ 1, ce qui lui permet de satisfaire la condition de multiplication croisée
- Certaines équations rationnelles ne peuvent pas être facilement réduites à une forme comportant une fraction ou une équation rationnelle de chaque côté. Dans de tels cas, utilisez la même approche du moindre dénominateur.
Étape 2. Croix multipliez
La multiplication croisée signifie multiplier l'un des numérateurs d'une fraction par le dénominateur d'une autre fraction et vice versa. Multipliez le numérateur de la fraction de gauche par le dénominateur de la fraction de droite. Répétez avec le dénominateur droit avec le dénominateur gauche.
La multiplication croisée fonctionne selon les principes algébriques de base. Les équations rationnelles et autres fractions peuvent être transformées en non-fractions en les multipliant par le dénominateur. Le produit croisé est fondamentalement un moyen rapide de multiplier les deux côtés d'une équation par les deux dénominateurs. Ne crois pas? Essayez-le - vous obtiendrez le même résultat après l'avoir simplifié
Étape 3. Rendez les deux produits égaux
Après la multiplication croisée, vous obtiendrez deux résultats de multiplication. Rendez-les égaux les uns aux autres et simplifiez pour rendre l'équation aussi simple que possible.
Par exemple, si votre équation rationnelle d'origine était (x+3)/4 = x/(-2), après multiplication croisée, votre nouvelle équation devient -2(x+3) = 4x. Si vous le souhaitez, vous pouvez également l'écrire sous la forme -2x - 6 = 4x
Étape 4. Trouvez la valeur de votre variable
Utilisez des opérations algébriques pour trouver la valeur de la variable de votre équation. N'oubliez pas que si x apparaît des deux côtés de l'équation, vous devez ajouter ou soustraire x des deux côtés de l'équation pour ne laisser x que d'un côté de l'équation.
Dans notre exemple, nous pouvons diviser les deux côtés de l'équation par -2, donc x+3 = -2x. Soustraire x des deux côtés donne 3 = -3x. Enfin, en divisant les deux côtés par -3, le résultat devient -1 = x, ce qui peut s'écrire x = -1. Nous avons trouvé la valeur de x en résolvant notre équation rationnelle
Méthode 2 sur 2: Trouver le plus petit dénominateur commun
Étape 1. Connaître l'heure exacte pour utiliser le même plus petit dénominateur
Le même plus petit dénominateur peut être utilisé pour simplifier les équations rationnelles, en les rendant consultables pour les valeurs des variables. Trouver le plus petit dénominateur commun est une bonne idée si votre équation rationnelle ne peut pas être facilement écrite en termes d'une fraction (et d'une seule fraction) de chaque côté de l'équation. Pour résoudre des équations rationnelles à trois parties ou plus, le plus petit dénominateur commun est utile. Cependant, pour résoudre une équation rationnelle avec seulement deux parties, il est plus rapide d'utiliser le produit croisé.
Étape 2. Vérifiez le dénominateur de chaque fraction
Identifiez le plus petit nombre que chaque dénominateur peut diviser et produire un nombre entier. Ce nombre est le plus petit dénominateur commun de votre équation.
- Parfois, le plus petit dénominateur commun, c'est-à-dire le plus petit nombre qui a tous les facteurs dans le dénominateur, est clairement visible. Par exemple, si votre équation est x/3 + 1/2 = (3x+1)/6, il n'est pas difficile de voir le plus petit nombre qui a un facteur de 3, 2 et 6, qui est le nombre 6.
- Cependant, souvent, le plus petit dénominateur commun d'une équation rationnelle n'est pas clairement visible. Dans un cas comme celui-ci, essayez de vérifier les multiples du plus grand dénominateur jusqu'à ce que vous trouviez un nombre qui a un facteur de tous les autres plus petits dénominateurs. Souvent, le plus petit dénominateur commun est le produit de deux dénominateurs. Par exemple, dans l'équation x/8 + 2/6 = (x-3)/9, le plus petit dénominateur commun est 8*9 = 72.
- Si un ou plusieurs des dénominateurs de votre fraction ont des variables, ce processus est plus difficile, mais possible à faire. Dans un cas comme celui-ci, le plus petit dénominateur commun est une équation (avec une variable) qui est divisible par tous les autres dénominateurs. Par exemple dans l'équation 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x), le plus petit dénominateur commun est 3x(x-1) car n'importe quel dénominateur peut le diviser - diviser par (x-1) donne 3x, en divisant par 3x donne (x-1) et en divisant par x donne 3(x-1).
Étape 3. Multipliez chaque fraction de l'équation rationnelle par 1
Multiplier chaque partie par 1 semble inutile. Mais voici l'astuce. 1 peut être défini comme n'importe quel nombre identique au numérateur et au dénominateur, tel que -2/2 et 3/3, qui est la bonne façon d'écrire 1. Cette méthode tire parti de la définition alternative. Multipliez chaque fraction de votre équation rationnelle par 1, en notant le nombre 1 qui, multiplié par le dénominateur, donne le plus petit dénominateur commun.
- Dans notre exemple de base, nous allons multiplier x/3 par 2/2 pour obtenir 2x/6 et multiplier 1/2 par 3/3 pour obtenir 3/6. 2x + 1/6 a déjà le même plus petit dénominateur, qui est 6, nous pouvons donc le multiplier par 1/1 ou le laisser tel quel.
- Dans notre exemple avec une variable au dénominateur de la fraction, le processus est un peu plus compliqué. Puisque notre plus petit dénominateur est 3x(x-1), nous multiplions chaque équation rationnelle par quelque chose qui renvoie 3x(x-1). On va multiplier 5/(x-1) par (3x)/(3x) ce qui donne 5(3x)/(3x)(x-1), multiplier 1/x par 3(x-1)/3(x- 1) ce qui donne 3(x-1)/3x(x-1), et en multipliant 2/(3x) par (x-1)/(x-1) donne 2(x-1)/3x(x- 1).
Étape 4. Simplifiez et trouvez la valeur de x
Maintenant, puisque chaque partie de votre équation rationnelle a le même dénominateur, vous pouvez supprimer le dénominateur de votre équation et résoudre le numérateur. Multipliez les deux côtés de l'équation pour obtenir la valeur du numérateur. Ensuite, utilisez des opérations algébriques pour trouver la valeur de x (ou toute variable que vous souhaitez résoudre) d'un côté de l'équation.
- Dans notre exemple de base, après avoir multiplié toutes les parties par la forme alternative 1, nous obtenons 2x/6 + 3/6 = (3x+1)/6. Deux fractions peuvent être additionnées si elles ont le même dénominateur, nous pouvons donc simplifier cette équation en (2x+3)/6 = (3x+1)/6 sans changer la valeur. Multipliez les deux côtés par 6 pour supprimer le dénominateur, le résultat est donc 2x+3 = 3x+1. Soustrayez 1 des deux côtés pour obtenir 2x+2 = 3x, et soustrayez 2x des deux côtés pour obtenir 2 = x, qui peut être écrit sous la forme x = 2.
- Dans notre exemple avec une variable au dénominateur, notre équation après multiplication par 1 devient 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x-1) + 2(x-1) /3x(x-1). Multiplier toutes les parties par le même plus petit dénominateur, ce qui nous permet d'omettre le dénominateur, devient 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1). Cela s'applique également à 5x = 3x - 3 + 2x -2, ce qui se simplifie en 15x = x - 5. La soustraction de x des deux côtés donne 14x = -5, ce qui, à la fin, se simplifie en x = -5/14.
Des astuces
- Lorsque vous avez résolu la variable, vérifiez votre réponse en insérant la valeur de la variable dans l'équation d'origine. Si la valeur de votre variable est correcte, vous pouvez simplifier votre équation d'origine en une simple déclaration qui est toujours égale à 1 = 1.
- Notez que vous pouvez écrire n'importe quel polynôme sous la forme d'une équation rationnelle; placez-le au-dessus du dénominateur 1. Donc x+3 et (x+3)/1 ont la même valeur, mais la deuxième équation peut être classée comme une équation rationnelle car elle s'écrit sous la forme d'une fraction.
