3 manières de résoudre les logarithmes

2024 Auteur: Jason Gerald | [email protected]. Dernière modifié: 2024-01-15 08:14

Les logarithmes peuvent sembler difficiles à résoudre, mais la résolution de problèmes de logarithmes est en réalité beaucoup plus simple que vous ne le pensez, car les logarithmes ne sont qu'une autre façon d'écrire des équations exponentielles. Une fois que vous avez réécrit le logarithme sous une forme plus familière, vous devriez être capable de le résoudre comme vous le feriez avec n'importe quelle autre équation exponentielle ordinaire.

Étape

Avant de commencer: apprenez à exprimer des équations logarithmiques de manière exponentielle

Étape 1. Comprendre la définition du logarithme

Avant de résoudre des équations logarithmiques, vous devez comprendre que les logarithmes sont fondamentalement une autre façon d'écrire des équations exponentielles. La définition exacte est la suivante:

• y = journal_b (X)

  Si et seulement si: b^oui = x

• Rappelons que b est la base du logarithme. Cette valeur doit remplir les conditions suivantes:

  • b > 0
  • b n'est pas égal à 1
• Dans l'équation, y est l'exposant, et x est le résultat du calcul de l'exponentielle recherchée dans le logarithme.

Étape 2. Considérez l'équation logarithmique

Lorsque vous examinez l'équation du problème, recherchez la base (b), l'exposant (y) et l'exponentielle (x).

• Exemple:

  5 = journal₄(1024)

  • b = 4
  • y = 5
  • x = 1024

Étape 3. Déplacez l'exponentielle d'un côté de l'équation

Déplacez la valeur de votre exponentiation, x, d'un côté du signe égal.

• Par exemple:

  1024 = ?

Étape 4. Entrez la valeur de l'exposant à sa base

Votre valeur de base, b, doit être multipliée par le même nombre de valeurs représentées par l'exposant y.

• Exemple:

  4 * 4 * 4 * 4 * 4 = ?

  Cette équation peut aussi s'écrire: 4⁵

Étape 5. Réécrivez votre réponse finale

Vous devriez maintenant être capable de réécrire l'équation logarithmique sous la forme d'une équation exponentielle. Vérifiez votre réponse en vous assurant que les deux côtés de l'équation ont la même valeur.

• Exemple:

  4⁵ = 1024

Méthode 1 sur 3: Trouver la valeur de X

Étape 1. Divisez l'équation logarithmique

Effectuez un calcul inverse pour déplacer la partie de l'équation qui n'est pas une équation logarithmique de l'autre côté.

• Exemple:

  Journal₃(x + 5) + 6 = 10

  • Journal₃(x + 5) + 6 - 6 = 10 - 6
  • Journal₃(x + 5) = 4

Étape 2. Réécrivez cette équation sous forme exponentielle

Utilisez ce que vous savez déjà sur la relation entre les équations logarithmiques et les équations exponentielles, et réécrivez-les sous une forme exponentielle qui est plus simple et plus facile à résoudre.

• Exemple:

  Journal₃(x + 5) = 4

  • Comparez cette équation avec la définition de [ y = journal_b (X)], alors vous pouvez conclure que: y = 4; b = 3; x = x + 5
  • Réécrivez l'équation sous la forme: b^oui = x
  • 3⁴ = x + 5

Étape 3. Trouvez la valeur de x

Une fois que ce problème a été simplifié en une équation exponentielle de base, vous devriez pouvoir le résoudre comme n'importe quelle autre équation exponentielle.

• Exemple:

  3⁴ = x + 5

  • 3 * 3 * 3 * 3 = x + 5
  • 81 = x + 5
  • 81 - 5 = x + 5 - 5
  • 76 = x

Étape 4. Écrivez votre réponse finale

La réponse finale que vous obtenez lorsque vous trouvez la valeur de x est la réponse à votre problème de logarithme d'origine.

• Exemple:

  x = 76

Méthode 2 sur 3: Recherche de la valeur de X à l'aide de la règle d'addition logarithmique

Étape 1. Comprenez les règles d'ajout de logarithmes

La première propriété des logarithmes connue sous le nom de "règle d'addition logarithmique" stipule que le logarithme d'un produit est égal à la somme des logarithmes des deux valeurs. Écrivez cette règle sous forme d'équation:

• Journal_b(m * n) = log_b(m) + bûche_b(f)

• N'oubliez pas que les conditions suivantes doivent s'appliquer:

  • m > 0
  • n > 0

Étape 2. Divisez le logarithme d'un côté de l'équation

Utilisez des calculs inverses pour déplacer des parties de l'équation de sorte que toute l'équation logarithmique se trouve d'un côté, tandis que les autres composants sont de l'autre côté.

• Exemple:

  Journal₄(x + 6) = 2 - log₄(X)

  • Journal₄(x + 6) + bûche₄(x) = 2 - journal₄(x) + journal₄(X)
  • Journal₄(x + 6) + bûche₄(x) = 2

Étape 3. Appliquez la règle d'addition logarithmique

S'il y a deux logarithmes qui s'additionnent dans une équation, vous pouvez utiliser la règle du logarithme pour les assembler.

• Exemple:

  Journal₄(x + 6) + bûche₄(x) = 2

  • Journal₄[(x + 6) * x] = 2
  • Journal₄(X² + 6x) = 2

Étape 4. Réécrivez cette équation sous forme exponentielle

N'oubliez pas que les logarithmes ne sont qu'une autre façon d'écrire des équations exponentielles. Utilisez la définition logarithmique pour réécrire l'équation sous une forme qui peut être résolue.

• Exemple:

  Journal₄(X² + 6x) = 2

  • Comparez cette équation avec la définition de [ y = journal_b (X)], vous pouvez conclure que: y = 2; b = 4; x = x² + 6x
  • Réécrivez cette équation de telle sorte que: b^oui = x
  • 4² = x² + 6x

Étape 5. Trouvez la valeur de x

Une fois que cette équation s'est transformée en une équation exponentielle régulière, utilisez ce que vous savez sur les équations exponentielles pour trouver la valeur de x comme vous le feriez normalement.

• Exemple:

  4² = x² + 6x

  • 4 * 4 = x² + 6x
  • 16 = x² + 6x
  • 16 - 16 = x² + 6x - 16
  • 0 = x² + 6x - 16
  • 0 = (x - 2) * (x + 8)
  • x = 2; x = -8

Étape 6. Écrivez vos réponses

À ce stade, vous devriez avoir la réponse à l'équation. Écrivez votre réponse dans l'espace prévu.

• Exemple:

  x = 2

• Notez que vous ne pouvez pas donner une réponse négative pour le logarithme, vous pouvez donc vous débarrasser de la réponse x - 8.

Méthode 3 sur 3: Trouver la valeur de X à l'aide de la règle de division logarithmique

Étape 1. Comprendre la règle de division logarithmique

Sur la base de la deuxième propriété des logarithmes, connue sous le nom de « règle de division logarithmique », le logarithme d'une division peut être réécrit en soustrayant le logarithme du dénominateur du numérateur. Écrivez cette équation comme suit:

• Journal_b(m/n) = log_b(m) - journal_b(f)

• N'oubliez pas que les conditions suivantes doivent s'appliquer:

  • m > 0
  • n > 0

Étape 2. Divisez l'équation logarithmique d'un côté

Avant de résoudre des équations logarithmiques, vous devez transférer toutes les équations logarithmiques d'un côté du signe égal. L'autre moitié de l'équation doit être déplacée de l'autre côté. Utilisez des calculs inverses pour le résoudre.

• Exemple:

  Journal₃(x + 6) = 2 + journal₃(x - 2)

  • Journal₃(x + 6) - journal₃(x - 2) = 2 + journal₃(x - 2) - journal₃(x - 2)
  • Journal₃(x + 6) - journal₃(x - 2) = 2

Étape 3. Appliquez la règle de division logarithmique

S'il y a deux logarithmes dans une équation et que l'un d'eux doit être soustrait de l'autre, vous pouvez et devez utiliser la règle de division pour réunir ces deux logarithmes.

• Exemple:

  Journal₃(x + 6) - journal₃(x - 2) = 2

  Journal₃[(x + 6) / (x - 2)] = 2

Étape 4. Écrivez cette équation sous forme exponentielle

Lorsqu'il ne reste qu'une équation logarithmique, utilisez la définition logarithmique pour l'écrire sous forme exponentielle, en éliminant le log.

• Exemple:

  Journal₃[(x + 6) / (x - 2)] = 2

  • Comparez cette équation avec la définition de [ y = journal_b (X)], vous pouvez conclure que: y = 2; b = 3; x = (x + 6) / (x - 2)
  • Réécrivez l'équation sous la forme: b^oui = x
  • 3² = (x + 6) / (x - 2)

Étape 5. Trouvez la valeur de x

Une fois que l'équation est exponentielle, vous devriez pouvoir trouver la valeur de x comme vous le feriez normalement.

• Exemple:

  3² = (x + 6) / (x - 2)

  • 3 * 3 = (x + 6) / (x - 2)
  • 9 = (x + 6) / (x - 2)
  • 9 * (x - 2) = [(x + 6) / (x - 2)] * (x - 2)
  • 9x - 18 = x + 6
  • 9x - x - 18 + 18 = x - x + 6 + 18
  • 8x = 24
  • 8x/8 = 24/8
  • x = 3

Étape 6. Écrivez votre réponse finale

Recherchez et vérifiez vos étapes de calcul. Une fois que vous êtes sûr que la réponse est correcte, notez-la.

• Exemple:

  x = 3