Une fraction complexe est une fraction dans laquelle le numérateur, le dénominateur ou les deux contiennent également une fraction. Pour cette raison, les fractions complexes sont parfois appelées "fractions empilées". Simplifier des fractions complexes peut être facile ou difficile, selon le nombre de nombres dans le numérateur et le dénominateur, si l'un des nombres est une variable ou la complexité du nombre variable. Voir l'étape 1 ci-dessous pour commencer !
Étape
Méthode 1 sur 2: Simplification des fractions complexes avec la multiplication inverse
Étape 1. Simplifiez le numérateur et le dénominateur en une seule fraction si nécessaire
Les fractions complexes ne sont pas toujours difficiles à résoudre. En fait, les fractions complexes dont le numérateur et le dénominateur contiennent une seule fraction sont généralement assez faciles à résoudre. Ainsi, si le numérateur ou le dénominateur (ou les deux) d'une fraction complexe contient plusieurs fractions ou fractions et un entier, simplifiez-le pour obtenir une seule fraction à la fois dans le numérateur et le dénominateur. Trouvez le plus petit commun multiple (LCM) de deux fractions ou plus.
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Par exemple, disons que nous voulons simplifier une fraction complexe (3/5 + 2/15)/(5/7 - 3/10). Premièrement, nous simplifierons à la fois le numérateur et le dénominateur d'une fraction complexe en une seule fraction.
- Pour simplifier le numérateur, utilisez le LCM 15 obtenu en multipliant 3/5 par et 3/3. Le numérateur sera 9/15 + 2/15, ce qui équivaut à 11/15.
- Pour simplifier le dénominateur, nous utiliserons le résultat LCM de 70 qui s'obtient en multipliant 5/7 par 10/10 et 3/10 par 7/7. Le dénominateur sera 50/70 - 21/70, ce qui équivaut à 29/70.
- Ainsi, la nouvelle fraction complexe est (11/15)/(29/70).
Étape 2. Inversez le dénominateur pour trouver sa réciproque
Par définition, diviser un nombre par un autre revient à multiplier le premier nombre par l'inverse du deuxième nombre. Maintenant que nous avons une fraction complexe avec une seule fraction à la fois au numérateur et au dénominateur, nous allons utiliser cette division pour simplifier la fraction complexe. Tout d'abord, trouvez l'inverse de la fraction au bas de la fraction complexe. Pour ce faire, "inversant" la fraction - en mettant le numérateur à la place du dénominateur et vice versa.
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Dans notre exemple, la fraction au dénominateur de la fraction complexe (11/15)/(29/70) est 29/70. Pour trouver l'inverse, nous l'inversons de manière à obtenir 70/29.
Notez que si une fraction complexe a un entier au dénominateur, nous pouvons la traiter comme une fraction et trouver sa réciproque. Par exemple, si la fraction complexe est (11/15)/(29), nous pouvons faire le dénominateur 29/1, ce qui signifie que l'inverse est 1/29.
Étape 3. Multipliez le numérateur de la fraction complexe par l'inverse du dénominateur
Maintenant que nous avons l'inverse du dénominateur de la fraction complexe, multipliez-le par le numérateur pour obtenir une seule fraction simple. N'oubliez pas que pour multiplier deux fractions, nous ne faisons que multiplier - le numérateur de la nouvelle fraction est le numéro du numérateur des deux anciennes fractions, ainsi que le dénominateur.
Dans notre exemple, nous multiplierons 11/15 × 70/29. 70 × 11 = 770 et 15 × 29 = 435. Ainsi, la nouvelle fraction simple est 770/435.
Étape 4. Simplifiez la nouvelle fraction en trouvant le plus grand facteur commun
Nous avons déjà une fraction simple, donc tout ce que nous avons à faire est de trouver le nombre le plus simple. Trouvez le plus grand facteur commun (GCF) du numérateur et du dénominateur et divisez les deux par ce nombre pour le simplifier.
L'un des facteurs communs de 770 et 435 est 5. Donc, si nous divisons le numérateur et le dénominateur de la fraction par 5, nous obtenons 154/87. 154 et 87 n'ont pas de facteurs communs, c'est donc la réponse finale !
Méthode 2 sur 2: Simplification des fractions complexes contenant des nombres variables
Étape 1. Si possible, utilisez la méthode de multiplication inverse ci-dessus
Pour être clair, presque toutes les fractions complexes peuvent être simplifiées en soustrayant le numérateur et le dénominateur par une seule fraction et en multipliant le numérateur par l'inverse du dénominateur. Les fractions complexes contenant des variables sont également incluses, bien que plus l'expression des variables dans des fractions complexes est complexe, plus il sera difficile et long d'utiliser la multiplication inverse. Pour les fractions complexes "faciles" contenant des variables, la multiplication inverse est un bon choix, mais les fractions complexes avec plusieurs nombres de variables dans le numérateur et le dénominateur peuvent être plus faciles à simplifier de la manière alternative décrite ci-dessous.
- Par exemple, (1/x)/(x/6) est facile à simplifier par multiplication inverse. 1/x × 6/x = 6/x2. Il n'est pas nécessaire d'utiliser des méthodes alternatives ici.
- Cependant, (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))) est plus difficile à simplifier par multiplication inverse. Réduire le numérateur et le dénominateur de fractions complexes à des fractions simples, multiplier inversement et réduire le résultat aux nombres les plus simples peut être un processus compliqué. Dans ce cas, la méthode alternative ci-dessous peut être plus simple.
Étape 2. Si la multiplication inverse n'est pas pratique, commencez par trouver le LCM du nombre fractionnaire dans la fraction complexe
La première étape consiste à trouver le LCM de tous les nombres fractionnaires d'une fraction complexe - à la fois au numérateur et au dénominateur. Habituellement, si un ou plusieurs nombres fractionnaires ont un nombre au dénominateur, le LCM est le nombre au dénominateur.
C'est plus facile à comprendre avec un exemple. Essayons de simplifier les fractions complexes mentionnées ci-dessus, (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))). Les nombres fractionnaires dans cette fraction complexe sont (1)/(x+3) et (1)/(x-5). Le LCM des deux fractions est le nombre au dénominateur: (x+3)(x-5).
Étape 3. Multipliez le numérateur de la fraction complexe par le LCM nouvellement trouvé
Ensuite, nous devons multiplier le nombre dans la fraction complexe par le LCM du nombre fractionnaire. En d'autres termes, nous multiplierons toutes les fractions complexes par (KPK)/(KPK). Nous pouvons le faire indépendamment car (KPK)/(KPK) est égal à 1. Tout d'abord, multipliez les numérateurs eux-mêmes.
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Dans notre exemple, nous allons multiplier la fraction complexe, (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), soit ((x+ 3)(x-5))/((x+3)(x-5)). Nous devons multiplier par le numérateur et le dénominateur de la fraction complexe, en multipliant chaque nombre par (x + 3) (x-5).
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Tout d'abord, multiplions les numérateurs: (((1)/(x+3)) + x - 10) × (x+3)(x-5)
- = (((x+3)(x-5)/(x+3)) + x((x+3)(x-5)) - 10((x+3)(x-5))
- = (x-5) + (x(x.)2 - 2x - 15)) - (10(x2 - 2x - 15))
- = (x-5) + (x3 - 2x2 - 15x) - (10x2 - 20x - 150)
- = (x-5) + x3 - 12x2 + 5x + 150
- = X3 - 12x2 +6x +145
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Étape 4. Multipliez le dénominateur de la fraction complexe par le LCM comme vous le feriez avec le numérateur
Continuez à multiplier la fraction complexe par le LCM trouvé en procédant au dénominateur. Multipliez tout, multipliez chaque nombre par le LCM.
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Le dénominateur de notre fraction complexe, (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), est x +4 +((1) //(x-5)). Nous allons le multiplier par le LCM trouvé, (x+3)(x-5).
- (x +4 +((1)/(x - 5))) × (x+3)(x-5)
- = x((x+3)(x-5)) + 4((x+3)(x-5)) + (1/(x-5))(x+3)(x-5).
- = x(x2 - 2x - 15) + 4(x2 - 2x - 15) + ((x+3)(x-5))/(x-5)
- = x3 - 2x2 - 15x + 4x2 - 8x - 60 + (x+3)
- = x3 + 2x2 - 23x - 60 + (x+3)
- = X3 + 2x2 - 22x - 57
Étape 5. Créez une nouvelle fraction simplifiée à partir du numérateur et du dénominateur nouvellement trouvés
Après avoir multiplié la fraction par (KPK)/(KPK) et l'avoir simplifiée en combinant les nombres, le résultat est une fraction simple qui ne contient pas de nombre fractionnaire. Notez qu'en multipliant par le LCM du nombre fractionnaire dans la fraction complexe d'origine, le dénominateur de cette fraction sera épuisé et laissera le nombre variable et le nombre entier dans le numérateur et le dénominateur de la réponse, sans aucune fraction.
Avec le numérateur et le dénominateur trouvés ci-dessus, nous pouvons construire une fraction qui est la même que la fraction complexe d'origine, mais ne contient pas le nombre fractionnaire. Le numérateur obtenu est x3 - 12x2 + 6x + 145 et le dénominateur obtenu était x3 + 2x2 - 22x - 57, donc la nouvelle fraction devient (X3 - 12x2 + 6x + 145)/(x3 + 2x2 - 22x - 57)
Des astuces
- Montrez chaque étape du travail. Les fractions peuvent être déroutantes si les pas comptent trop vite ou essaient de le faire par cœur.
- Trouvez des exemples de fractions complexes sur Internet ou dans des livres. Suivez chaque étape jusqu'à ce qu'elle puisse être maîtrisée.
