La vitesse est définie comme la vitesse d'un objet dans une certaine direction. Dans de nombreuses situations, pour trouver la vitesse, nous pouvons utiliser l'équation v = s/t, où v est égal à la vitesse, s est égal à la distance totale que l'objet s'est déplacée depuis sa position initiale et t est égal au temps. Cependant, cette méthode ne donne que la valeur "moyenne" de la vitesse de l'objet sur son déplacement. En utilisant le calcul, vous pouvez calculer la vitesse d'un objet à n'importe quel point le long de son déplacement. Cette valeur est appelée "vitesse instantanée" et peut être calculée par l'équation v = (ds)/(dt), ou, en d'autres termes, est la dérivée de l'équation de la vitesse moyenne de l'objet.
Étape
Méthode 1 sur 3: Calcul de la vitesse instantanée
Étape 1. Commencez par l'équation de la vitesse de déplacement de l'objet
Pour obtenir la valeur de la vitesse instantanée d'un objet, nous devons d'abord avoir une équation qui décrit sa position (en termes de déplacement) à un instant donné. Cela signifie que l'équation doit avoir une variable s (qui se tient seul) d'un côté, et t d'autre part (mais pas nécessairement autonome), comme ceci:
s = -1.5t2+10t+4
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Dans l'équation, les variables sont:
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Déplacement = s. C'est la distance parcourue par l'objet depuis son point de départ. Par exemple, si un objet parcourt 10 mètres en avant et 7 mètres en arrière, alors la distance totale parcourue est de 10 - 7 = 3 mètres (pas 10 + 7 = 17 mètres).
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Temps = t. Cette variable est explicite. Généralement exprimé en secondes. # Prenez la dérivée de l'équation. La dérivée d'une équation est une autre équation qui peut donner la valeur de la pente à partir d'un certain point. Pour trouver la dérivée de la formule du déplacement d'un objet, dérivez la fonction en utilisant la règle générale suivante: Si y = a*x , Dérivée = a*n*xn-1. Cette règle s'applique à tout composant qui se trouve du côté « t » de l'équation.
Calculer la vitesse instantanée Étape 2
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- En d'autres termes, commencez par descendre le côté "t" de l'équation de gauche à droite. Chaque fois que vous atteignez la valeur "t", soustrayez 1 de la valeur de l'exposant et multipliez le tout par l'exposant d'origine. Toutes les constantes (variables qui ne contiennent pas "t") seront perdues car elles sont multipliées par 0. Ce processus n'est pas aussi difficile qu'on pourrait le penser, dérivons l'équation de l'étape ci-dessus à titre d'exemple:
s = -1.5t2+10t+4
(2)-1.5t(2-1)+ (1)10t1 - 1 + (0)4t0
-3t1 + 10t0
- 3t + 10
Étape 2. Remplacez la variable "s" par "ds/dt
"Pour montrer que votre nouvelle équation est la dérivée de l'équation précédente, remplacez " s " par " ds/dt ". Techniquement, cette notation signifie " dérivée de s par rapport à t ". Une façon plus simple de comprendre cela est que ds /dt est la valeur de la pente (pente) en tout point de la première équation, par exemple, pour déterminer la pente d'une ligne tirée de l'équation s = -1,5t2 + 10t + 4 à t = 5, on peut brancher la valeur "5" dans l'équation dérivée.
- Dans l'exemple utilisé, l'équation à la dérivée première ressemblerait maintenant à ceci:
ds/sec = -3t + 10
Étape 3. Branchez la valeur de t dans la nouvelle équation pour obtenir la valeur de vitesse instantanée
Maintenant que vous avez l'équation dérivée, il est facile de trouver la vitesse instantanée en tout point. Tout ce que vous avez à faire est de choisir une valeur pour t et de la connecter à votre équation dérivée. Par exemple, si vous voulez trouver la vitesse instantanée à t = 5, vous pouvez remplacer la valeur de t par "5" dans l'équation dérivée ds/dt = -3 + 10. Résolvez ensuite l'équation comme ceci:
ds/sec = -3t + 10
ds/sec = -3(5) + 10
ds/sec = -15 + 10 = - 5 mètres/seconde
Notez que l'unité utilisée ci-dessus est le "mètre/seconde". Parce que ce que nous calculons est le déplacement en mètres et le temps en secondes (secondes) et la vitesse en général est le déplacement dans un certain temps, cette unité est appropriée à utiliser
Méthode 2 sur 3: Estimation graphique de la vitesse instantanée
Étape 1. Tracez un graphique du déplacement de l'objet au fil du temps
Dans la section ci-dessus, la dérivée est mentionnée comme la formule pour trouver la pente à un point donné pour l'équation que vous dérivez. En fait, si vous représentez le déplacement d'un objet sous forme de ligne sur un graphique, "la pente de la ligne en tous points est égale à la valeur de sa vitesse instantanée en ce point".
- Pour décrire le déplacement d'un objet, utilisez x pour représenter le temps et y pour représenter le déplacement. Ensuite, dessinez les points, en insérant la valeur de t dans votre équation, obtenant ainsi la valeur de s pour votre graphique, marquez t, s dans le graphique comme (x, y).
- Notez que votre graphique peut s'étendre sous l'axe des x. Si la ligne représentant le mouvement de votre objet atteint en dessous de l'axe des x, cela signifie que l'objet a reculé par rapport à sa position initiale. En général, votre graphique n'atteindra pas l'arrière de l'axe des y - car nous ne mesurons pas la vitesse d'un objet qui passe !
Étape 2. Sélectionnez un point adjacent P et Q dans la ligne
Pour obtenir la pente de la droite en un point P, nous pouvons utiliser une astuce appelée "prendre la limite". Prendre la limite implique deux points (P et Q, un point à proximité) sur la ligne courbe et trouver la pente de la ligne en les reliant plusieurs fois jusqu'à ce que les distances P et Q se rapprochent.
Disons que la ligne de déplacement de l'objet contient les valeurs (1, 3) et (4, 7). Dans ce cas, si nous voulons trouver la pente au point (1, 3), nous pouvons déterminer (1, 3) = P et (4, 7) = Q.
Étape 3. Trouvez la pente entre P et Q
La pente entre P et Q est la différence des valeurs y pour P et Q le long de la différence de valeur sur l'axe x pour P et Q. En d'autres termes, H = (yQ - ouiP)/(XQ - XP), où H est la pente entre les deux points. Dans notre exemple, la valeur de la pente entre P et Q est
H = (yQ- ouiP)/(XQ- XP)
H = (7 - 3)/(4 - 1)
H = (4)/(3) = 1.33
Étape 4. Répétez plusieurs fois, en rapprochant Q de P
Votre objectif est de réduire la distance entre P et Q pour ressembler à un point. Plus la distance entre P et Q est proche, plus la pente de la droite au point P est étroite. Faites ceci plusieurs fois avec l'équation utilisée comme exemple, en utilisant les points (2, 4,8), (1,5, 3,95) et (1,25, 3.49) comme Q et le point de départ (1, 3) comme P:
Q = (2, 4.8):
H = (4,8 - 3)/(2 - 1)
H = (1,8)/(1) = 1.8
Q = (1,5, 3,95):
H = (3,95 - 3)/(1,5 - 1)
H = (.95)/(.5) = 1.9
Q = (1,25, 3,49):
H = (3,49 - 3)/(1,25 - 1)
H = (.49)/(.25) = 1.96
Étape 5. Estimez la pente de la ligne sur une très petite distance
Au fur et à mesure que Q se rapproche de P, H se rapproche de plus en plus de la valeur de la pente du point P. Finalement, lorsqu'il atteint une très petite valeur, H est égal à la pente de P. Puisque nous ne pouvons pas mesurer ou calculer de très petites distances, nous ne pouvons estimer la pente sur P qu'une fois qu'elle est claire à partir du point que nous essayons.
- Dans l'exemple, lorsque nous rapprochons Q de P, nous obtenons des valeurs de 1,8, 1,9 et 1,96 pour H. Étant donné que ces nombres sont proches de 2, nous pouvons dire que 2 est la pente approximative de P.
- Rappelez-vous que la pente en un point donné de la ligne est égale à la dérivée de l'équation de la ligne. Puisque la droite utilisée montre le déplacement d'un objet au cours du temps, et parce que comme nous l'avons vu dans la section précédente, la vitesse instantanée d'un objet est la dérivée de son déplacement en un point donné, on peut aussi affirmer que « 2 mètres/seconde " est la valeur approximative de la vitesse instantanée à t = 1.
Méthode 3 sur 3: Exemples de questions
Étape 1. Trouvez la valeur de la vitesse instantanée à t = 4, à partir de l'équation de déplacement s = 5t3 - 3t2 +2t+9.
Ce problème est le même que l'exemple de la première partie, sauf que cette équation est une équation cubique, pas une équation de puissance, nous pouvons donc résoudre ce problème de la même manière.
- On prend d'abord la dérivée de l'équation:
- Ensuite, entrez la valeur de t(4):
s = 5t3- 3t2+2t+9
s = (3)5t(3 - 1) - (2)3t(2 - 1) + (1)2t(1 - 1) + (0)9t0 - 1
15t(2) - 6t(1) + 2t(0)
15t(2) - 6t + 2
s = 15t(2)- 6t + 2
15(4)(2)- 6(4) + 2
15(16) - 6(4) + 2
240 - 24 + 2 = 22 mètres/seconde
Étape 2. Utilisez une estimation graphique pour trouver la vitesse instantanée à (1, 3) pour l'équation de déplacement s = 4t2 - t.
Pour ce problème, nous utiliserons (1, 3) comme point P, mais nous devons définir un autre point adjacent à ce point comme le point Q. Ensuite, il nous suffit de déterminer la valeur de H et de faire une estimation.
- Tout d'abord, trouvez la valeur de Q d'abord à t = 2, 1,5, 1,1 et 1,01.
- Ensuite, déterminez la valeur de H:
- Comme la valeur de H est très proche de 7, on peut affirmer que 7 mètres/secondeest la vitesse instantanée approximative à (1, 3).
s = 4t2- t
t = 2:
s = 4(2)2- (2)
4(4) - 2 = 16 - 2 = 14, donc Q = (2, 14)
t = 1,5:
s = 4(1,5)2 - (1.5)
4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, donc Q = (1,5, 7,5)
t = 1,1:
s = 4(1.1)2 - (1.1)
4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, donc Q = (1,1, 3,74)
t = 1,01:
s = 4 (1,01)2 - (1.01)
4(1.0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, donc Q = (1,01, 3,0704)
Q = (2, 14):
H = (14 - 3)/(2 - 1)
H = (11)/(1) =
Étape 11.
Q = (1,5, 7,5):
H = (7,5 - 3)/(1,5 - 1)
H = (4,5)/(0,5) =
Étape 9.
Q = (1,1, 3,74):
H = (3,74 - 3)/(1,1 - 1)
H = (.74)/(.1) = 7.3
Q = (1,01, 3,0704):
H = (3,0704 - 3)/(1,01 - 1)
H = (.0704)/(.01) = 7.04
Des astuces
- Pour trouver la valeur de l'accélération (changement de vitesse au fil du temps), utilisez la méthode de la première section pour obtenir l'équation de la dérivée de la fonction de déplacement. Ensuite, créez à nouveau l'équation dérivée, cette fois à partir de votre équation dérivée. Cela vous donnera l'équation pour trouver l'accélération à un moment donné, tout ce que vous avez à faire est d'entrer votre valeur de temps.
- L'équation reliant la valeur de Y (déplacement) à X (temps) peut être très simple, par exemple Y= 6x + 3. Dans ce cas, la valeur de la pente est constante, et il n'est pas nécessaire de trouver la dérivée pour la calculer, où selon l'équation d'une droite, Y = mx + b sera égal à 6.
- Le déplacement est similaire à la distance, mais a une direction, donc le déplacement est une quantité vectorielle, tandis que la distance est une quantité scalaire. La valeur de déplacement peut être négative, mais la distance sera toujours positive.
