La forme racine est une déclaration algébrique qui a le signe de la racine carrée (ou racine cubique ou supérieure). Cette forme peut souvent représenter deux nombres qui ont la même valeur même s'ils peuvent sembler différents à première vue (par exemple, 1/(sqrt(2) - 1) = sqrt(2)+1). Par conséquent, nous avons besoin d'une "formule standard" pour ce genre de formulaire. S'il y a deux déclarations, toutes deux dans la formule standard, qui semblent différentes, elles ne sont pas identiques. Les mathématiciens conviennent que la formulation standard de la forme quadratique remplit les exigences suivantes:
- Évitez d'utiliser des fractions
- Ne pas utiliser de puissances fractionnaires
- Évitez d'utiliser la forme racine dans le dénominateur
- Ne contient pas la multiplication de deux formes de racines
- Les nombres sous la racine ne peuvent plus être enracinés
Une utilisation pratique de ceci est dans les examens à choix multiples. Lorsque vous trouvez une réponse, mais que votre réponse n'est pas la même que les options disponibles, essayez de la simplifier en une formule standard. Étant donné que les auteurs de questions écrivent généralement les réponses dans des formules standard, faites de même avec vos réponses pour qu'elles correspondent aux leurs. Dans les questions à développement, des commandes telles que « simplifiez votre réponse » ou « simplifiez toutes les racines » signifient que les étudiants doivent effectuer les étapes suivantes jusqu'à ce qu'ils répondent à la formule standard ci-dessus. Cette étape peut également être utilisée pour résoudre des équations, bien que certains types d'équations soient plus faciles à résoudre dans des formules non standard.
Étape
Étape 1. Si nécessaire, passez en revue les règles d'exploitation des racines et des exposants (les deux sont égaux - les racines sont des puissances de fractions) car nous en avons besoin dans ce processus
Revoyez également les règles de simplification des polynômes et des formes rationnelles car nous devrons les simplifier.
Méthode 1 sur 6: Carrés parfaits
Étape 1. Simplifiez toutes les racines contenant des carrés parfaits
Un carré parfait est le produit d'un nombre par lui-même, par exemple 81, qui est un produit de 9 x 9. Pour simplifier un carré parfait, supprimez simplement la racine carrée et notez la racine carrée du nombre.
- Par exemple, 121 est un carré parfait car 11 x 11 est égal à 121. Ainsi, vous pouvez simplifier la racine (121) à 11, en supprimant le signe racine.
- Pour faciliter cette étape, vous devrez vous souvenir des douze premiers carrés parfaits: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
Étape 2. Simplifiez toutes les racines contenant des cubes parfaits
Un cube parfait est le produit de la multiplication deux fois d'un nombre par lui-même, par exemple 27, qui est le produit de 3 x 3 x 3. Pour simplifier la forme racine d'un cube parfait, supprimez simplement la racine carrée et notez la racine carrée du nombre.
Par exemple, 343 est un cube parfait car c'est le produit de 7 x 7 x 7. Donc la racine cubique de 343 est 7
Méthode 2 sur 6: Conversion de fractions en racines
Ou en changeant l'inverse (ça aide parfois), mais ne les mélangez pas dans la même instruction que root(5) + 5^(3/2). Nous supposerons que vous souhaitez utiliser la forme racine et nous utiliserons les symboles root(n) pour la racine carrée et sqrt^3(n) pour la racine cubique.
Étape 1. Prenez un à la puissance de la fraction et convertissez-le sous la forme racine, par exemple x^(a/b) = racine à la puissance b de x^a
Si la racine carrée est sous forme de fraction, convertissez-la en forme régulière. Par exemple, racine carrée (2/3) de 4 = racine(4)^3 = 2^3 = 8
Étape 2. Convertissez les exposants négatifs en fractions, par exemple x^-y = 1/x^y
Cette formule ne s'applique qu'aux exposants constants et rationnels. Si vous avez affaire à une forme comme 2^x, ne la modifiez pas, même si le problème indique que x peut être une fraction ou un nombre négatif
Étape 3. Fusionner la même tribu et simplifier la forme rationnelle résultante.
Méthode 3 sur 6: Élimination des fractions dans les racines
La formule standard exige que la racine soit un entier.
Étape 1. Regardez le nombre sous la racine carrée s'il contient encore une fraction
Si encore,…
Étape 2. Passez à une fraction composée de deux racines en utilisant l'identité root(a/b) = sqrt(a)/sqrt(b)
N'utilisez pas cette identité si le dénominateur est négatif ou s'il s'agit d'une variable qui pourrait être négative. Dans ce cas, simplifiez d'abord la fraction
Étape 3. Simplifiez chaque carré parfait du résultat
C'est-à-dire, convertissez sqrt(5/4) en sqrt(5)/sqrt(4), puis simplifiez en sqrt(5)/2.
Étape 4. Utilisez d'autres méthodes de simplification telles que la simplification de fractions complexes, la combinaison de termes égaux, etc
Méthode 4 sur 6: Combinaison de racines de multiplication
Étape 1. Si vous multipliez une forme de racine par une autre, combinez les deux en une racine carrée en utilisant la formule:
carr(a)*carré(b) = carr(ab). Par exemple, remplacez root(2)*root(6) par root(12).
- L'identité ci-dessus, sqrt(a)*sqrt(b) = sqrt(ab), est valide si le nombre sous le signe de la sqrt n'est pas négatif. N'utilisez pas cette formule lorsque a et b sont négatifs car vous ferez l'erreur de faire sqrt(-1)*sqrt(-1) = sqrt(1). L'instruction de gauche est égale à -1 (ou indéfinie si vous n'utilisez pas de nombres complexes) tandis que l'instruction de droite est +1. Si a et/ou b sont négatifs, "changez" d'abord le signe comme sqrt(-5) = i*sqrt(5). Si la forme sous le signe racine est une variable dont le signe est inconnu du contexte ou peut être positif ou négatif, laissez-le tel quel pour le moment. Vous pouvez utiliser l'identité plus générale, sqrt(a)*sqrt(b) = sqrt(sgn(a))*sqrt(sgn(b))*sqrt(|ab|) qui s'applique à tous les nombres réels a et b, mais généralement, cette formule n'aide pas beaucoup car elle ajoute de la complexité à l'utilisation de la fonction sgn (signum).
- Cette identité n'est valable que si les formes des racines ont le même exposant. Vous pouvez multiplier différentes racines carrées telles que sqrt(5)*sqrt^3(7) en les convertissant en la même racine carrée. Pour ce faire, convertissez temporairement la racine carrée en fraction: sqrt(5)*sqrt^3(7) = 5^(1/2) * 7^(1/3) = 5^(3/6) * 7 ^(2/6) = 125^(1/6) * 49^(1/6). Ensuite, utilisez la règle de multiplication pour multiplier les deux à la racine carrée de 6125.
Méthode 5 sur 6: Suppression du facteur carré de la racine
Étape 1. Factorisation des racines imparfaites en facteurs premiers
Un facteur est un nombre qui, multiplié par un autre nombre, forme un nombre -- par exemple, 5 et 4 sont deux facteurs de 20. Pour décomposer les racines imparfaites, notez tous les facteurs du nombre (ou autant que possible, si le nombre est trop grand) jusqu'à ce que vous ayez trouvé un carré parfait.
Par exemple, essayez de trouver tous les facteurs de 45: 1, 3, 5, 9, 15 et 45. 9 est un facteur de 45 et est également un carré parfait (9=3^2). 9x5 = 45
Étape 2. Supprimez tous les multiplicateurs qui sont des carrés parfaits à l'intérieur de la racine carrée
9 est un carré parfait car c'est le produit de 3 x 3. Retirez le 9 de la racine carrée et remplacez-le par 3 devant la racine carrée, en laissant 5 à l'intérieur de la racine carrée. Si vous "remettez" 3 dans la racine carrée, multipliez par lui-même pour faire 9, et si vous multipliez par 5, cela renvoie 45. 3 racines de 5 est une façon simple d'exprimer la racine de 45.
Autrement dit, sqrt(45) = sqrt(9*5) = sqrt(9)*sqrt(5) = 3*sqrt(5)
Étape 3. Trouvez le carré parfait dans la variable
La racine carrée d'un carré est |a|. Vous pouvez simplifier cela en "a" si la variable connue est positive. La racine carrée de a à la puissance 3 lorsqu'elle est décomposée en racine carrée de a au carré fois a -- rappelez-vous que les exposants s'additionnent lorsque nous multiplions deux nombres à la puissance a, donc a au carré fois a égale a à la troisième pouvoir.
Par conséquent, un carré parfait sous la forme d'un cube est un carré
Étape 4. Supprimez la variable contenant le carré parfait de la racine carrée
Maintenant, prenez un carré de la racine carrée et changez-le en |a|. La forme simple de la racine a à la puissance 3 est |a| racine a.
Étape 5. Combinez les termes égaux et simplifiez toutes les racines des résultats du calcul
Méthode 6 sur 6: Rationaliser le dénominateur
Étape 1. La formule standard exige que le dénominateur soit un entier (ou un polynôme s'il contient une variable) autant que possible
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Si le dénominateur consiste en un terme sous le signe racine, tel que […]/root(5), alors multipliez à la fois le numérateur et le dénominateur par cette racine pour obtenir […]*sqrt(5)/sqrt(5)*sqrt (5) = […]*racine(5)/5.
Pour les racines cubiques ou plus, multipliez par la racine appropriée pour que le dénominateur soit rationnel. Si le dénominateur est root^3(5), multipliez le numérateur et le dénominateur par sqrt^3(5)^2
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Si le dénominateur consiste à additionner ou soustraire deux racines carrées telles que sqrt(2) + sqrt(6), multiplier le quantificateur et le dénominateur par leur conjugué, qui est de la même forme mais de signe opposé. Alors […]/(root(2) + root(6)) = […](root(2)-root(6))/(root(2) + root(6))(root(2)-root (6)). Ensuite, utilisez la formule d'identité pour la différence de deux carrés [(a+b)(ab) = a^2-b^2] pour rationaliser le dénominateur, pour simplifier (sqrt(2) + sqrt(6))(sqrt(2)-sqrt(6)) = sqrt(2)^2 - sqrt(6)^2 = 2-6 = -4.
- Cela s'applique également aux dénominateurs comme 5 + sqrt(3) car tous les entiers sont les racines d'autres entiers. [1/(5 + sqrt(3)) = (5-sqrt(3))/(5 + sqrt(3))(5-sqrt(3)) = (5-sqrt(3))/(5^ 2-carré(3)^2) = (5-carré(3))/(25-3) = (5-carré(3))/22]
- Cette méthode s'applique également à l'ajout de racines telles que sqrt(5)-sqrt(6)+sqrt(7). Si vous les regroupez en (sqrt(5)-sqrt(6))+sqrt(7) et multipliez par (sqrt(5)-sqrt(6))-sqrt(7), la réponse n'est pas sous forme rationnelle, mais toujours dans a+b*root(30) où a et b sont déjà des nombres rationnels. Répétez ensuite le processus avec les conjugués a+b*sqrt(30) et (a+b*sqrt(30))(a-b*sqrt(30)) seront rationnels. Essentiellement, si vous pouvez utiliser cette astuce pour supprimer un signe racine dans le dénominateur, vous pouvez le répéter plusieurs fois pour supprimer toutes les racines.
- Cette méthode peut également être utilisée pour les dénominateurs qui contiennent une racine plus élevée, comme la racine quatrième de 3 ou la racine septième de 9. Multipliez le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Malheureusement, nous ne pouvons pas obtenir directement le conjugué du dénominateur et c'est difficile à faire. Nous pouvons trouver la réponse dans un livre d'algèbre sur la théorie des nombres, mais je n'entrerai pas dans les détails.
Étape 2. Maintenant, le dénominateur est sous forme rationnelle, mais le numérateur a l'air en désordre
Il ne vous reste plus qu'à le multiplier par le conjugué du dénominateur. Allez-y et multipliez comme nous multiplierions des polynômes. Vérifiez si des termes peuvent être omis, simplifiés ou combinés, si possible.
Étape 3. Si le dénominateur est un nombre entier négatif, multipliez le numérateur et le dénominateur par -1 pour le rendre positif
Des astuces
- Vous pouvez rechercher en ligne des sites qui peuvent vous aider à simplifier les formulaires racine. Tapez simplement l'équation avec le signe racine et après avoir appuyé sur Entrée, la réponse apparaîtra.
- Pour des questions plus simples, vous ne pouvez pas utiliser toutes les étapes de cet article. Pour les questions plus complexes, vous devrez peut-être utiliser plusieurs étapes plusieurs fois. Utilisez les étapes "simples" plusieurs fois et vérifiez si votre réponse correspond aux critères de formulation standard dont nous avons parlé plus tôt. Si votre réponse est dans la formule standard, vous avez terminé; mais sinon, vous pouvez vérifier l'une des étapes ci-dessus pour vous aider à le faire.
- La plupart des références à la "formule standard recommandée" pour la forme des racines s'appliquent également aux nombres complexes (i = racine(-1)). Même si une instruction contient un "i" au lieu d'une racine, évitez autant que possible les dénominateurs qui contiennent encore un i.
- Certaines des instructions de cet article supposent que toutes les racines sont des carrés. Les mêmes principes généraux s'appliquent aux racines des puissances supérieures, bien que certaines parties (en particulier la rationalisation du dénominateur) puissent être assez difficiles à travailler. Décidez vous-même de la forme que vous voulez, comme sqr^3(4) ou sqr^3(2)^2. (Je ne me souviens pas quelle forme est généralement suggérée dans les manuels).
- Certaines des instructions de cet article utilisent le mot « formule standard » pour décrire « forme régulière ». La différence est que la formule standard n'accepte que la forme 1+sqrt(2) ou sqrt(2)+1 et considère les autres formes comme non standard; La forme simple suppose que vous, le lecteur, êtes assez intelligent pour voir la « similitude » de ces deux nombres même s'ils ne sont pas identiques par écrit (« même » signifie dans leur propriété arithmétique (addition commutative), pas leur propriété algébrique (racine (2) est la racine non négative de x^2-2)). Nous espérons que les lecteurs comprendront la légère négligence dans l'utilisation de cette terminologie.
- Si l'un des indices semble ambigu ou contradictoire, effectuez toutes les étapes qui sont sans ambiguïté et cohérentes, puis choisissez la forme que vous préférez.
