Bien que cela puisse parfois sembler intimidant, le problème de la racine carrée n'est en fait pas si difficile à résoudre. Les problèmes de racine carrée simples peuvent généralement être résolus aussi facilement que les problèmes de multiplication et de division de base. Pour les questions plus complexes, cela demande un petit effort supplémentaire. Mais avec la bonne approche, tout problème difficile peut être résolu. Grâce à cet article, nous vous aiderons à résoudre les problèmes de racine carrée en quelques étapes faciles.
Étape
Partie 1 sur 3: Comprendre les carrés et les racines carrées
Étape 1. Le carré est le nombre multiplié par le nombre lui-même
Pour comprendre la racine carrée, il est bon de comprendre d'abord la signification du carré. En termes simples, un carré est un nombre multiplié par le nombre lui-même. Par exemple, 3 au carré est 3 fois 3 = 9 et 9 au carré est 9 fois 9 = 81. Le carré est représenté par le petit 2 en haut à droite du nombre au carré - comme ceci: 32, 92, 1002, etc.
Essayez de mettre au carré d'autres nombres pour tester ce concept. N'oubliez pas que la quadrature d'un nombre, c'est multiplier un nombre par lui-même. Vous pouvez même carrér des nombres négatifs. Le résultat sera toujours un nombre positif. Par exemple, -82 = -8 × -8 = 64.
Étape 2. La racine carrée est l'inverse du carré
Le symbole de la racine carrée (√, également connu sous le nom de symbole "radical") est essentiellement l'opposé du symbole 2. Lorsque vous trouvez un radical, demandez-vous: quel nombre, s'il est au carré, donnerait le nombre à l'intérieur du radical ? Par exemple, si vous regardez (9), trouvez le nombre qui, une fois mis au carré, est neuf. Ainsi, la réponse est "trois", car 32 = 9.
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Comme autre exemple, essayons de trouver la racine carrée de 25 (√(25)). C'est-à-dire que nous recherchons un nombre qui, une fois mis au carré, le résultat est 25. Parce que 52 = 5 × 5 = 25, alors (25) =
Étape 5..
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La racine carrée peut également être considérée comme "défaire" le carré. Par exemple, si nous voulons trouver (64), la racine carrée de 64, alors pensez à 64 comme 82. Puisque le symbole de la racine carrée « nie » essentiellement le symbole carré, donc (64) = (82) =
Étape 8..
Étape 3. Connaître la différence entre les carrés parfaits et imparfaits
Jusqu'à présent, les résultats de nos calculs de racine carrée étaient des nombres entiers. Les questions auxquelles vous serez confronté plus tard ne seront pas si faciles, il y aura des questions avec des réponses en nombre décimal avec quelques chiffres derrière la virgule. Les nombres arrondis après la mise au carré (c'est-à-dire pas les nombres fractionnaires ou décimaux) sont également appelés « carrés parfaits ». Tous les exemples précédents (9, 25 et 64) sont des carrés parfaits car s'ils sont au carré, le résultat est un nombre entier (3, 5 et 8).
D'autre part, les nombres qui ne sont pas arrondis après avoir été mis au carré sont des "carrés imparfaits". Habituellement, après la mise au carré, le résultat est un nombre fractionnaire ou décimal. Parfois même les nombres semblent très compliqués, comme (13) = 3, 605551275464…
Étape 4. Mémorisez le carré des nombres 1-12
Comme vous le savez déjà, la mise au carré d'un nombre carré parfait est très facile. Mémoriser les carrés des nombres 1-12 peut être très utile car ces nombres apparaîtront beaucoup dans le problème. Ainsi, vous gagnerez du temps en travaillant sur les questions. Les 12 premiers nombres au carré sont:
-
12 = 1 × 1 =
Étape 1.
-
22 = 2 × 2 =
Étape 4.
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32 = 3 × 3 =
Étape 9.
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42 = 4 × 4 =
Étape 16.
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52 = 5 × 5 =
Étape 25.
- 62 = 6 × 6 = 36
- 72 = 7 × 7 = 49
- 82 = 8 × 8 = 64
- 92 = 9 × 9 = 81
- 102 = 10 × 10 = 100
- 112 = 11 × 11 = 121
- 122 = 12 × 12 = 144
Étape 5. Simplifiez la racine carrée en supprimant les carrés parfaits
Trouver la racine carrée d'un nombre carré imparfait peut être délicat, surtout si vous n'utilisez pas de calculatrice. Cependant, le nombre à mettre au carré peut être simplifié pour le rendre plus facile à calculer. Pour ce faire, séparez simplement le nombre à l'intérieur du radical en plusieurs facteurs, puis supprimez la racine carrée des nombres carrés parfaits et écrivez la réponse en dehors du radical. Cette méthode est assez facile à faire - pour vous donner une meilleure compréhension, voici plus d'explications:
- Disons que nous voulons calculer la racine carrée de 900. Donc, divisez simplement 900 en ses facteurs. Les « facteurs » sont des nombres qui peuvent être multipliés ensemble pour produire un autre nombre. Par exemple, le nombre 6 peut être obtenu en multipliant et 1 × 6 et 2 × 3, donc les facteurs de 6 sont 1, 2, 3 et 6.
- Avec ce principe à l'esprit, décomposons 900 en ses facteurs. Pour commencer, nous écrivons 900 comme 9 × 100. Puisque 9 est un carré parfait, nous pouvons prendre la racine carrée de 100 séparément. (9 × 100) = (9) × (100) = 3 × (100). En d'autres termes, (900) = 3√(100).
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Nous pouvons le simplifier davantage en séparant 100 en ses facteurs, à savoir 25 et 4. (100) = (25 × 4) = (25) × (4) = 5 × 2 = 10. Par conséquent, peut être calculé (900) = 3(10) =
Étape 30..
Étape 6. Utilisez un nombre imaginaire pour la racine carrée d'un nombre négatif
Pensez, quel nombre si mis au carré le résultat est -16 ? La réponse, non. Tous les nombres au carré, le résultat est toujours positif, car il est négatif (-), lorsqu'il est multiplié par négatif, le résultat est positif (+). Ainsi, pour mettre au carré un nombre négatif, nous devons remplacer le nombre négatif par un nombre imaginaire (généralement sous la forme de lettres ou de symboles). Par exemple, la variable "i" est généralement utilisée pour la racine carrée de -1. Un nombre imaginaire est toujours à la racine carrée d'un nombre négatif.
Il convient de noter que bien que les nombres imaginaires ne soient jamais représentés par des nombres, ils peuvent toujours être traités comme des nombres de diverses manières. Par exemple, la racine carrée d'un nombre négatif peut être mise au carré, pour supprimer la racine carrée. Par exemple, je2 = - 1
Partie 2 sur 3: Utilisez l'algorithme de style de division longue
Étape 1. Résolvez les problèmes de racine carrée comme les problèmes de division longue
Bien qu'ils prennent du temps, les problèmes difficiles de racine carrée peuvent être résolus sans calculatrice. Pour ce faire, nous utiliserons une méthode (ou un algorithme) similaire à la division longue pile.
- Commencez par écrire le problème de la racine carrée comme vous le feriez pour un problème de division longue. Comme exemple de problème, trouvez la racine de 6, 45, qui n'est pas un nombre entier. Tout d'abord, nous écrivons le symbole radical (√), puis en dessous, nous écrivons le nombre dont nous voulons prendre le carré. Ensuite, tracez une ligne sur les nombres, tout comme une longue division d'empilement. Maintenant, le symbole "√" semble avoir une queue avec le numéro 6,45 en bas.
- Nous écrirons les chiffres au-dessus du problème, alors assurez-vous de laisser un espace vide.
Étape 2. Groupez les chiffres du numéro par paires
Tout d'abord, regroupez les chiffres du nombre sous le radical par paires, en commençant par la virgule décimale. Faites une sorte de marqueur (point, virgule, ligne, etc.) entre les paires pour un suivi facile.
Dans l'exemple de problème, 6, 45 seront divisés en 6-, 45-00. N'oubliez pas qu'il y a des chiffres "restants" sur la gauche - ce n'est pas un problème.
Étape 3. Trouvez le plus grand nombre dont la valeur carrée est inférieure ou égale au premier groupe
Commencez par le premier numéro du groupe de gauche. Choisissez le plus grand nombre dont la valeur carrée est inférieure ou égale dans le groupe. Par exemple, si le groupe est 37, alors choisissez 6 car 62 = 36 < 37 mais 72 = 49 > 37. Écrivez ce nombre au-dessus du premier groupe. Ce numéro est le premier chiffre de votre réponse.
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Dans l'exemple de problème, le premier groupe de 6-, 45-00 est 6. Le plus grand nombre qui est inférieur ou égal à 6 au carré est
Étape 2. - 22 = 4. Écrivez le nombre "2" au-dessus de 6 et la queue est un radical.
Étape 4. Multipliez le nombre que vous venez d'écrire, puis réduisez-le et soustrayez-le
Prenez le premier chiffre de votre réponse (écrit au-dessus du radical) et multipliez-le. Écrivez la réponse sous le premier groupe et soustrayez pour trouver la différence. Déposez le groupe suivant à droite de la différence que vous venez de calculer. Enfin, écrivez le dernier chiffre de la multiplication du premier chiffre de votre réponse à gauche et laissez un espace vide à droite.
Dans l'exemple de problème, le nombre qui est doublé est 2 (le premier chiffre de la réponse précédente). 2 × 2 = 4. Ensuite, soustrayez 4 par 6 (du premier groupe). 6 - 4 le résultat est 2. Ensuite, descendez le groupe suivant (45) et nous obtenons 245. Enfin, réécrivez le chiffre 4 à gauche et laissez un peu d'espace à droite, comme ceci: 4_
Étape 5. Remplissez l'espace vide
Ajoutez les chiffres à droite du nombre que vous avez écrit à gauche. Choisissez le chiffre qui donne la plus grande valeur lorsqu'il est multiplié par ce nouveau nombre, mais qui est toujours inférieur ou égal au « nombre dérivé ». Par exemple, si le « nombre dérivé » est 1700 et le nombre sur votre gauche est 40_, le nombre qui doit être saisi est « 4 » car 404 × 4 = 1616 < 1700, tandis que 405 × 5 = 2025. Le nombre trouvé dans cette étape est le deuxième chiffre de votre réponse, alors écrivez-la au-dessus du symbole radical.
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Dans l'exemple de problème, nous chercherons le nombre à côté de 4_ × _ dont la réponse est le plus grand nombre mais est inférieur ou égal à 245. La réponse est
Étape 5.. 45 × 5 = 225, tandis que 46 × 6 = 276.
Étape 6. Continuez à utiliser les nombres « espaces vides » pour trouver votre réponse
Continuez le long modèle de division d'empilement jusqu'à ce que la différence entre les soustractions des nombres dérivés soit nulle ou qu'un nombre assez précis soit obtenu. Lorsque vous avez terminé, les nombres que vous avez utilisés pour remplir les blancs à chaque étape (plus le tout premier nombre que vous avez utilisé) constituent chaque chiffre de votre réponse.
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Dans l'exemple de problème, soustrayez 245 par 220 pour obtenir 20. Ensuite, nous abaisserons le prochain groupe de chiffres, 00, et obtiendrons 2000. Multipliez le nombre au-dessus du symbole radical, et nous obtenons 25 × 2 = 50. Pour remplir dans les blancs à 50_ × _ =/< 2 000, on obtient le nombre
Étape 3.. Maintenant, nous avons "253" au-dessus du symbole radical - répétez ce processus à nouveau et obtenez 9 dans le chiffre suivant.
Étape 7. Supprimez le signe décimal de l'origine
Pour obtenir la réponse finale, placez le point décimal dans la bonne position. C'est facile - il suffit de mettre le point décimal en ligne avec le point décimal sous le symbole radical. Par exemple, le nombre en dessous du radical est 49, 8, donc mettez un point décimal entre les nombres au-dessus de 8 et 9.
Dans l'exemple de problème, si le nombre sous le radical est 6, 45, alors le point décimal sera aligné entre les chiffres 2 et 5. Cela signifie que la réponse finale est 2, 539.
Partie 3 sur 3: Estimer rapidement les carrés imparfaits
Étape 1. Trouvez le carré imparfait en utilisant une approximation
Une fois que vous avez mémorisé les carrés parfaits, il sera beaucoup plus facile de trouver des carrés imparfaits. L'astuce consiste à trouver un carré parfait avant et après le nombre que vous recherchez. Ensuite, déterminez lequel des deux carrés parfaits est le plus proche du nombre que vous recherchez.
Par exemple, nous voulons trouver la racine carrée de 40. Le nombre carré parfait avant et après 40 est 62 et 72, qui est 36 et 49. Puisque 40 est supérieur à 36 et inférieur à 49, la racine carrée de 40 doit être comprise entre 6 et 7. Le nombre 40 est plus proche de 36 que 49, donc la racine carrée de 40 est plus proche de 6 Voici quelques étapes pour trouver une réponse précise.
Étape 2. Estimez la racine carrée à un chiffre après la virgule
Lorsque vous avez déterminé deux nombres carrés parfaits avant et après le nombre que vous recherchez, le reste consiste à trouver le nombre derrière la virgule qui est le plus proche de la réponse. Commencez par le nombre estimé à un chiffre après la virgule. Ce processus continuera à se répéter jusqu'à ce que vous obteniez une réponse avec la précision que vous souhaitez.
Dans l'exemple de problème, l'approximation raisonnable de la racine carrée de 40 est 6, 4, car la réponse est très probablement plus proche de 6 que de 7.
Étape 3. Multipliez votre nombre estimé par le nombre lui-même
En d'autres termes, mettez au carré votre nombre approximatif. Si vous avez de la chance, le résultat sera le numéro du problème. Sinon, continuez d'ajouter ou de soustraire les nombres après la virgule jusqu'à ce que vous trouviez le carré le plus proche du nombre dans le problème.
- Multipliez 6, 4 par 6, 4 pour obtenir 6, 4 × 6, 4 = 40, 96, qui est légèrement supérieur à 40.
- Étant donné que l'expérience initiale était redondante, soustrayez votre approximation d'une décimale, ce qui correspond à 6, 3 × 6, 3 = 39, 69. Ce résultat est légèrement inférieur au nombre dans le problème. Cela signifie que la racine carrée de 40 est comprise entre 6, 3 et 6, 4. Ensuite, puisque 39,69 est plus proche de 40, la racine carrée de 40 est également plus proche de 6, 3.
Étape 4. Prévision prospective au besoin
Utilisez votre réponse si vous pensez qu'elle est suffisamment précise. Mais sinon, continuez simplement le modèle approximatif ci-dessus jusqu'à ce que vous trouviez une réponse avec trois ou quatre chiffres après la virgule - de toute façon, jusqu'à ce que vous atteigniez le niveau de précision souhaité.
