Apprendre à simplifier les expressions algébriques est l'une des clés pour maîtriser l'algèbre de base et l'outil le plus utile dont tout mathématicien a besoin. La simplification permet aux mathématiciens de convertir des expressions complexes, longues et/ou impaires en expressions équivalentes plus simples ou plus faciles. Les compétences de simplification de base sont très faciles à apprendre, même pour ceux qui détestent les mathématiques. En suivant quelques étapes simples, il est possible de simplifier bon nombre des types d'expressions algébriques les plus fréquemment utilisés, sans utiliser aucune connaissance particulière des mathématiques. Consultez l'étape 1 pour commencer !
Étape
Comprendre les concepts importants
Étape 1. Regroupez les termes similaires en fonction de leurs variables et de leurs pouvoirs
En algèbre, des termes semblables ont la même configuration variable, avec la même puissance. En d'autres termes, pour que deux termes soient égaux, ils doivent avoir la même variable, ou aucune variable du tout, et chaque variable a la même puissance, ou pas d'exposant. L'ordre des variables en termes n'est pas important.
Par exemple, 3x2 et 4x2 sont des termes similaires car ils ont tous deux une variable x avec la puissance du carré. Cependant, x et x2 ne sont pas comme des termes car chaque terme a une variable x avec une puissance différente. Presque identiques, -3yx et 5xz ne sont pas des termes similaires car chaque terme a une variable différente.
Étape 2. Factorisez en écrivant le nombre comme le produit des deux facteurs
L'affacturage est le concept d'écrire un nombre donné comme le produit de deux facteurs multipliés. Les nombres peuvent avoir plus d'un ensemble de facteurs - par exemple, 12 peut être obtenu à partir de 1 × 12, 2 × 6 et 3 × 4, nous pouvons donc dire que 1, 2, 3, 4, 6 et 12 sont des facteurs de 12 Une autre façon de l'imaginer est que les facteurs d'un nombre sont les nombres qui divisent le nombre entier.
- Par exemple, si nous voulions factoriser 20, nous pourrions l'écrire sous la forme 4 × 5.
- Notez que les termes variables peuvent également être factorisés. -20x, par exemple, peut être écrit comme 4(5x).
- Les nombres premiers ne peuvent pas être factorisés car ils ne peuvent être divisés que par eux-mêmes et 1.
Étape 3. Utilisez l'acronyme KaPaK BoTaK pour mémoriser l'ordre des opérations
Parfois, simplifier une expression résout simplement l'opération dans l'équation jusqu'à ce qu'elle ne soit plus réalisable. Dans ces cas, il est très important de se souvenir de l'ordre des opérations afin qu'aucune erreur arithmétique ne se produise. L'acronyme KaPaK BoTaK vous aidera à vous souvenir de l'ordre des opérations – les lettres indiquent les types d'opérations que vous devez effectuer, dans l'ordre:
- K échouer
- Pascenseur
- Kali
- Bde nouveau
- Tajouter
- Kcrevette
Méthode 1 sur 3: Fusionner les termes similaires
Étape 1. Écrivez votre équation
Les équations algébriques les plus simples, impliquant seulement quelques termes variables avec des coefficients entiers et aucune fraction, racine, etc., peuvent souvent être résolues en quelques étapes seulement. Pour la plupart des problèmes mathématiques, la première étape pour simplifier votre équation est de l'écrire !
Comme exemple de problème, pour les prochaines étapes, nous utilisons l'expression 1 + 2x - 3 + 4x.
Étape 2. Identifiez les tribus similaires
Ensuite, recherchez des termes similaires dans votre équation. Rappelez-vous que les termes similaires ont la même variable et le même exposant.
Par exemple, identifions des termes similaires dans notre équation 1 + 2x – 3 + 4x. 2x et 4x ont tous deux la même variable avec la même puissance (dans ce cas, x n'a pas d'exposant). De plus, 1 et -3 sont des termes similaires car ils n'ont pas de variables. Donc dans notre équation, 2x et 4x et 1 et -3 sont des tribus similaires.
Étape 3. Combinez des termes similaires
Maintenant que vous avez identifié des termes similaires, vous pouvez les combiner pour simplifier votre équation. Ajoutez les termes (ou soustrayez dans le cas de termes négatifs) pour réduire l'ensemble de termes ayant la même variable et le même exposant à un terme égal.
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Ajoutons des termes similaires dans notre exemple.
- 2x + 4x = 6x
- 1 + -3 = - 2
Étape 4. Créez une équation plus simple à partir des termes simplifiés
Après avoir combiné vos termes similaires, créez une équation à partir du nouvel ensemble de termes plus petit. Vous obtiendrez une équation plus simple, qui a un terme pour les différents ensembles de variables et de puissances dans l'équation d'origine. Cette nouvelle équation est équivalente à l'équation d'origine.
Dans notre exemple, nos termes simplifiés sont 6x et -2, donc notre nouvelle équation est 6x - 2. Cette équation simple est équivalente à l'originale (1 + 2x - 3 + 4x), mais plus courte et plus facile à travailler. Il est également plus facile à factoriser, ce que nous verrons ci-dessous, ce qui est une autre compétence simplificatrice importante.
Étape 5. Suivez l'ordre des opérations lors de la combinaison de termes similaires
Dans des équations très simples comme celle sur laquelle nous avons travaillé dans l'exemple de problème ci-dessus, il est facile d'identifier des termes similaires. Cependant, dans des équations plus complexes, telles que des expressions impliquant des termes entre parenthèses, des fractions et des racines, les termes qui peuvent être combinés peuvent ne pas être clairement visibles. Dans ces cas, suivez l'ordre des opérations, en effectuant des opérations sur les termes de votre expression selon vos besoins jusqu'à ce que les opérations d'addition et de soustraction restent.
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Par exemple, utilisons l'équation 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Il serait erroné de considérer immédiatement 3x et 2x comme des termes similaires et de les combiner car les parenthèses dans l'expression indiquent que nous devons d'abord effectuer d'autres opérations. Tout d'abord, nous effectuons des opérations arithmétiques sur l'expression dans l'ordre des opérations pour obtenir les termes que nous pouvons utiliser. Voir ce qui suit:
- 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
- 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
- 15x - 5 + x2 + 8 - 3x. Maintenant, puisque les seules opérations restantes sont l'addition et la soustraction, nous pouvons combiner les mêmes termes.
- X2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
- X2 + 12x + 3
Méthode 2 sur 3: Affacturage
Étape 1. Identifiez le plus grand facteur commun dans l'expression
La factorisation est un moyen de simplifier une expression en supprimant les facteurs qui sont identiques dans tous les termes similaires de l'expression. Pour commencer, trouvez le plus grand facteur commun que tous les termes ont - en d'autres termes, le plus grand nombre qui divise tous les termes de l'expression ensemble.
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Utilisons l'équation 9x.2 + 27x - 3. Notez que chaque terme de cette équation est divisible par 3. Puisque les termes ne sont pas divisibles par un nombre plus grand, nous pouvons dire que
Étape 3. est notre plus grand facteur commun.
Étape 2. Divisez les termes de l'expression par le plus grand facteur commun
Ensuite, divisez chaque terme de votre équation par le plus grand facteur commun que vous venez de trouver. Les termes de quotient auront un coefficient plus petit que l'équation d'origine.
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Factorisons notre équation par son plus grand facteur commun, 3. Pour ce faire, nous allons diviser chaque terme par 3.
- 9x2/3 = 3x2
- 27x/3 = 9x
- -3/3 = -1
- Ainsi, notre nouvelle expression est 3x2 + 9x - 1.
Étape 3. Écrivez votre expression comme le produit du plus grand facteur commun multiplié par les termes restants
Votre nouvelle expression n'est pas équivalente à votre expression d'origine, il serait donc incorrect de dire que l'expression a été simplifiée. Pour que notre nouvelle expression soit égale à l'originale, nous devons inclure le fait que notre expression a été divisée par le plus grand facteur commun. Mettez votre nouvelle expression entre parenthèses et écrivez le plus grand facteur commun de l'équation d'origine comme coefficient d'expression entre parenthèses.
Pour notre exemple d'équation, 3x2 + 9x - 1, nous pouvons mettre l'expression entre parenthèses et la multiplier par le plus grand facteur commun de l'équation originale pour obtenir 3 (3x2 + 9x - 1). Cette équation est équivalente à l'équation originale, 9x2 +27x - 3.
Étape 4. Utilisez la factorisation pour simplifier les fractions
Vous vous demandez peut-être maintenant pourquoi la factorisation est utilisée, si même après avoir supprimé le plus grand facteur commun, la nouvelle expression doit être multipliée à nouveau par ce facteur. En fait, la factorisation permet aux mathématiciens d'effectuer diverses astuces pour simplifier les expressions. L'une de ses astuces les plus simples tire parti du fait que multiplier le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre peut produire des fractions équivalentes. Voir ce qui suit:
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Dites notre exemple d'expression initial, 9x2 + 27x - 3, est le quantificateur de la plus grande fraction avec 3 comme numérateur. La fraction ressemblera à ceci: (9x2 + 27x - 3)/3. Nous pouvons utiliser la factorisation pour simplifier les fractions.
- Remplaçons la forme factorielle de notre expression d'origine pour l'expression au numérateur: (3(3x2 + 9x - 1))/3
- Notez que maintenant, le numérateur et le dénominateur ont un coefficient de 3. En divisant le numérateur et le dénominateur par 3, nous obtenons: (3x2 + 9x - 1)/1.
- Puisque toute fraction avec un dénominateur de 1 est équivalente aux termes du numérateur, nous pouvons dire que notre fraction initiale peut être simplifiée en 3x2 + 9x - 1.
Méthode 3 sur 3: Appliquer des compétences de simplification supplémentaires
Étape 1. Simplifiez les fractions en divisant par les mêmes facteurs
Comme indiqué ci-dessus, si le numérateur et le dénominateur d'une équation ont les mêmes facteurs, ces facteurs peuvent être complètement omis dans la fraction. Parfois, il faudra prendre en compte le numérateur, le dénominateur ou les deux (comme c'est le cas dans l'exemple de problème ci-dessus) alors que parfois les mêmes facteurs sont souvent évidents. Notez qu'il est également possible de diviser les termes du numérateur par l'équation au dénominateur un par un pour obtenir une expression simple.
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Travaillons sur un exemple qui ne nécessite pas de factorisation. Pour les fractions (5x2 + 10x + 20)/10, on peut diviser chaque terme du numérateur par 10 pour simplifier, même si le coefficient est de 5 en 5x2 n'est pas supérieur à 10 et donc 10 n'est pas un facteur.
Si nous le faisons, nous obtiendrons ((5x2)/10) + x + 2. Si nous le voulions, nous pourrions réécrire le premier terme sous la forme (1/2)x2 donc on obtient (1/2)x2 +x+2.
Étape 2. Utilisez les facteurs au carré pour simplifier les racines
L'expression sous le signe racine est appelée expression racine. Cette expression peut être simplifiée en identifiant les facteurs au carré (facteurs qui sont des carrés d'entiers) et en effectuant l'opération de racine carrée séparément pour les supprimer sous le signe de la racine carrée.
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Faisons un exemple simple - (90). Si nous considérons 90 comme le produit de ses deux facteurs, 9 et 10, nous pouvons prendre la racine carrée de 9 qui est l'entier 3 et la retirer du signe radical. En d'autres termes:
- √(90)
- √(9 × 10)
- (√(9) × √(10))
- 3 × √(10)
- 3√(10)
Étape 3. Ajouter des exposants lors de la multiplication de deux exposants; soustraire lors de la division
Certaines expressions algébriques nécessitent de multiplier ou de diviser des termes de puissance. Au lieu de calculer ou de diviser chaque exposant manuellement, il suffit d'ajouter les exposants lors de la multiplication et de soustraire lors de la division pour gagner du temps. Ce concept peut également être utilisé pour simplifier les expressions de variables.
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Par exemple, utilisons l'expression 6x3 × 8x4 + (x17/X15). Dans tous les cas où la multiplication ou la division des exposants est requise, nous soustrairons ou ajouterons des exposants, respectivement, pour trouver rapidement le terme simple. Voir ce qui suit:
- 6x3 × 8x4 + (x17/X15)
- (6 × 8)x3 + 4 + (x17 - 15)
- 48x7 +x2
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Pour une explication de son fonctionnement, voir ci-dessous:
- Multiplier des termes en exposants revient en fait à multiplier des termes non en exposants longs. Par exemple, parce que x3 = x × x × x et x 5 = x × x × x × x × x, x3 × x5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), ou x8.
- Presque pareil, diviser des exposants est comme diviser des termes, pas des exposants longs. X5/X3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Puisque chaque terme du numérateur peut être barré en trouvant le même terme au dénominateur, il ne reste que deux x au numérateur et rien en bas, ce qui donne la réponse x2.
Des astuces
- Rappelez-vous toujours que vous devez imaginer ces nombres comme ayant des signes positifs et négatifs. Beaucoup de gens s'arrêtent pour réfléchir à quel signe devrais-je mettre ici ?
- Demandez de l'aide si vous en avez besoin !
- Simplifier les expressions algébriques n'est pas facile, mais une fois que vous l'aurez compris, vous l'utiliserez pour le reste de votre vie.
Avertissement
- Recherchez toujours des tribus similaires et ne vous laissez pas berner par le rang.
- Assurez-vous de ne pas ajouter de nombres, de pouvoirs ou d'opérations qui ne devraient pas être effectués par inadvertance.
