Un vecteur est une quantité physique qui a à la fois une amplitude et une direction (par exemple, la vitesse, l'accélération et le déplacement), par opposition à un scalaire qui se compose uniquement d'une magnitude (par exemple, la vitesse, la distance ou l'énergie). Si des scalaires peuvent être ajoutés en ajoutant des magnitudes (par exemple, un travail de 5 kJ plus un travail de 6 kJ équivaut à un travail de 11 kJ), les vecteurs sont un peu difficiles à ajouter ou à soustraire. Voir l'étape 1 ci-dessous pour apprendre quelques façons d'ajouter ou de soustraire des vecteurs.
Étape
Méthode 1 sur 3: Ajouter et soustraire des vecteurs dont les composants sont connus
Étape 1. Notez les composantes dimensionnelles du vecteur en notation vectorielle
Étant donné que les vecteurs ont une magnitude et une direction, ils peuvent généralement être décomposés en parties en fonction des dimensions x, y et/ou z. Ces dimensions sont généralement écrites dans une notation similaire pour décrire un point dans un système de coordonnées (par exemple et autres). Si vous connaissez cette partie, ajouter ou soustraire des vecteurs est très simple, il suffit d'ajouter ou de soustraire leurs coordonnées x, y et z.
- Remarquez si les dimensions du vecteur sont 1, 2 ou 3. Ainsi, le vecteur peut avoir des composantes x, x et y, ou x, y et z. Notre exemple suivant utilise un vecteur à 3 dimensions, mais le processus ressemble à un vecteur à 1 ou 2 dimensions.
- Supposons que nous ayons deux vecteurs tridimensionnels, le vecteur A et le vecteur B. Nous pouvons écrire ces vecteurs en utilisant une notation vectorielle telle que A = et B =, où a1 et a2 sont des composantes x, b1 et b2 sont des composantes y, et c1 et c2 sont des composants z.
Étape 2. Pour additionner les deux vecteurs, additionnez leurs composants
Si les deux composantes d'un vecteur sont connues, vous pouvez additionner les vecteurs en additionnant les composantes de chacun. En d'autres termes, ajoutez la composante x du premier vecteur à la composante x du deuxième vecteur et faites de même pour y et z. La réponse que vous obtenez en additionnant les composantes x, y et z de ces vecteurs est les composantes x, y et z de votre nouveau vecteur.
- De façon générale, A+B =.
- Ajoutons deux vecteurs A et B. A = et B =. A + B =, ou.
Étape 3. Pour soustraire les deux vecteurs, soustrayez leurs composants
Comme nous le verrons plus tard, soustraire un vecteur d'un autre peut être considéré comme l'ajout de ses vecteurs réciproques. Si les composantes des deux vecteurs sont connues, il est possible de soustraire un vecteur d'un autre en soustrayant la première composante de la deuxième composante (ou en ajoutant les composantes négatives des deux).
- De façon générale, UN B =
- Soustrayons deux vecteurs A et B. A = et B =. A - B =, ou.
Méthode 2 sur 3: Ajouter et soustraire des images à l'aide de la méthode Tête et queue
Étape 1. Symbolisez le vecteur en le dessinant à l'aide de la tête et de la queue
Puisque les vecteurs ont à la fois une amplitude et une direction, on peut dire qu'ils ont une queue et une tête. En d'autres termes, un vecteur a un point de départ et un point d'arrivée qui indiquent la direction du vecteur dont la distance du point de départ est égale à la magnitude du vecteur. Une fois dessiné, le vecteur prend la forme d'une flèche. La pointe de la flèche est la tête du vecteur et la fin de la ligne vectorielle est la queue.
Si vous créez un dessin vectoriel avec des dimensions, vous devrez mesurer et dessiner tous les coins avec précision. Le mauvais angle de l'image affectera le résultat obtenu lorsque deux vecteurs sont ajoutés ou soustraits à l'aide de cette méthode
Étape 2. Pour ajouter, dessiner ou déplacer le deuxième vecteur de sorte que la queue rencontre la tête du premier vecteur
C'est ce qu'on appelle la combinaison de vecteurs tête-bêche. Si vous ne faites qu'additionner deux vecteurs, voici ce que vous devez faire avant de trouver le vecteur résultant.
Notez que l'ordre dans lequel vous ajoutez les vecteurs n'a pas d'importance, en supposant que vous utilisiez le même point de départ. Vecteur A + Vecteur B = Vecteur B + Veltor A
Étape 3. Pour soustraire, ajoutez un signe négatif au vecteur
Réduire les vecteurs à l'aide d'images est très simple. Inversez la direction du vecteur, mais gardez la même amplitude et additionnez la tête et la queue de votre vecteur comme d'habitude. En d'autres termes, pour soustraire un vecteur, faites pivoter le vecteur de 180o et additionner.
Étape 4. Si vous ajoutez ou soustrayez plus de deux vecteurs, combinez tous les vecteurs dans un ordre tête-à-queue
L'ordre de fusion n'a pas d'importance. Cette méthode peut être utilisée quel que soit le nombre de vecteurs.
Étape 5. Dessinez un nouveau vecteur de la queue du premier vecteur à la tête du dernier vecteur
Que vous additionniez/soustrayez deux vecteurs ou cent, le vecteur qui s'étend de votre point de départ initial (la queue du premier vecteur) au point final de votre dernier vecteur (la tête de votre dernier vecteur) est le vecteur résultant ou la somme de tous vos vecteurs. Notez que ce vecteur est exactement le même que le vecteur obtenu en additionnant toutes les composantes x, y et/ou z.
- Si vous dessinez tous vos vecteurs à la bonne taille, en mesurant correctement tous les angles, vous pouvez déterminer la magnitude du vecteur résultant en mesurant la longueur. Vous pouvez également mesurer l'angle entre la résultante et tout vecteur horizontalement ou verticalement pour déterminer sa direction.
- Si vous ne dessinez pas tous vos vecteurs à la bonne taille, vous devrez peut-être calculer la magnitude du résultat à l'aide de la trigonométrie. Peut-être que les règles du sinus et du cosinus vous aideront. Si vous ajoutez plus de deux vecteurs, il est utile d'ajouter le premier vecteur par le deuxième, puis d'ajouter la résultante du deuxième au troisième, et ainsi de suite. Voir les sections suivantes pour plus d'informations.
Étape 6. Dessinez votre vecteur résultant en utilisant sa magnitude et sa direction
Un vecteur est défini par sa longueur et sa direction. Comme ci-dessus, en supposant que vous ayez dessiné votre vecteur avec précision, la magnitude de votre nouveau vecteur est sa longueur et sa direction est l'angle par rapport à la direction verticale ou horizontale. Utilisez les vecteurs unitaires que vous ajoutez ou soustrayez pour déterminer les unités de l'amplitude de votre vecteur résultant.
Par exemple, si les vecteurs ajoutés représentent la vitesse en ms-1, alors le vecteur résultant peut être défini comme "vitesse x ms-1 contre toi o dans le sens horizontal.
Méthode 3 sur 3: Ajout et soustraction de vecteurs en spécifiant des composants dimensionnels vectoriels
Étape 1. Utilisez la trigonométrie pour déterminer les composantes d'un vecteur
Pour trouver les composantes d'un vecteur, vous devez généralement connaître sa magnitude et sa direction par rapport à la direction horizontale ou verticale et comprendre la trigonométrie. En supposant un vecteur à 2 dimensions, considérez d'abord votre vecteur comme l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les deux côtés sont parallèles aux directions x et y. Ces deux côtés peuvent être considérés comme des composants d'un vecteur tête-bêche qui s'additionnent pour former votre vecteur.
- Les longueurs des deux côtés sont égales aux composantes x et y de votre vecteur et peuvent être calculées à l'aide de la trigonométrie. Si x est une magnitude vectorielle, le côté adjacent à l'angle vectoriel (par rapport aux directions horizontale, verticale et autres) est xcos(θ), tandis que le côté opposé est xsin(θ).
- Il est également très important de noter la direction de vos composants. Si le composant pointe vers une coordonnée négative, il reçoit un signe négatif. Par exemple, dans un plan à 2 dimensions, si un composant pointe vers la gauche ou vers le bas, il est négatif.
- Par exemple, disons que nous avons un vecteur de magnitude 3 et de direction 135o par rapport à l'horizontale. Avec cette information, nous pouvons déterminer que la composante x est 3cos(135) = - 2, 12 et la composante y est 3sin(135) = 2, 12
Étape 2. Ajoutez ou soustrayez deux ou plusieurs vecteurs liés
Une fois que vous avez trouvé les composants de tous vos vecteurs, additionnez-les pour trouver les composants de votre vecteur résultant. Tout d'abord, additionnez toutes les amplitudes des composantes horizontales (qui sont parallèles à la direction x). Séparément, additionnez toutes les amplitudes des composantes verticales (qui sont parallèles à la direction y). Si un composant est négatif (-), sa magnitude est soustraite, pas ajoutée. La réponse que vous obtenez est la composante de votre vecteur résultant.
Par exemple, le vecteur de l'étape précédente,, est ajouté au vecteur. Dans ce cas, le vecteur résultant devient ou
Étape 3. Calculez la magnitude du vecteur résultant à l'aide du théorème de Pythagore
Théorème de Pythagore c2= un2+b2, est utilisé pour trouver la longueur du côté d'un triangle rectangle. Puisque le triangle formé par notre vecteur résultant et ses composants est un triangle rectangle, nous pouvons l'utiliser pour trouver la longueur et la magnitude du vecteur. Avec c comme amplitude du vecteur résultant que vous recherchez, supposons que a soit l'amplitude de la composante x et b soit l'amplitude de la composante y. Résoudre en utilisant l'algèbre.
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Pour trouver la magnitude du vecteur dont nous avons recherché les composantes à l'étape précédente,, utilisez le théorème de Pythagore. Résolvez comme suit:
- c2=(3, 66)2+(-6, 88)2
- c2=13, 40+47, 33
- c=√60, 73 = 7, 79
Étape 4. Calculez la direction résultante à l'aide de la fonction Tangente
Enfin, trouvez le vecteur résultant de la direction. Utilisez la formule = bronzage-1(b/a), où est la taille de l'angle formé dans la direction x ou horizontale, b est la taille de la composante y et a est la taille de la composante x.
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Pour trouver la direction de notre vecteur, utilisez =tan-1(b/a).
- = bronzage-1(-6, 88/3, 66)
- = bronzage-1(-1, 88)
- =-61, 99o
Étape 5. Dessinez votre vecteur résultant en fonction de sa magnitude et de sa direction
Comme indiqué ci-dessus, les vecteurs sont définis par leur amplitude et leur direction. Assurez-vous d'utiliser les unités appropriées pour la taille de votre vecteur.
Par exemple, si notre exemple vectoriel représente une force (en Newtons), alors nous pouvons l'écrire "forcer 7,79 N par -61,99 o à l'horizontale".
Des astuces
- Le vecteur est différent du grand.
- Les vecteurs ayant la même direction peuvent être ajoutés ou soustraits en ajoutant ou en soustrayant leurs amplitudes. Si tu résumer deux vecteurs opposés, leurs grandeurs sont soustraites et non additionnées.
- Les vecteurs représentés sous la forme x i + y j + z k peuvent être ajoutés ou soustraits en ajoutant ou en soustrayant les coefficients des trois vecteurs unitaires. La réponse est également sous la forme i, j et k.
- Vous pouvez trouver la taille d'un vecteur tridimensionnel en utilisant la formule a2=b2+c2+d2 où a est l'amplitude du vecteur, et b, c et d sont les composantes de chaque direction.
- Les vecteurs de colonne peuvent être ajoutés et soustraits en ajoutant ou en soustrayant les valeurs de chaque ligne.
