Chaque fonction a deux variables, à savoir la variable indépendante et la variable dépendante. Littéralement, la valeur de la variable dépendante "dépend" de la variable indépendante. Par exemple, dans la fonction y = f(x) = 2 x + y, x est la variable indépendante et y est la variable dépendante (en d'autres termes, y est une fonction de x). Les valeurs valides pour la variable connue x sont appelées "domaines d'origine". Les valeurs valides pour la variable y connue sont appelées « plage de résultats ».
Étape
Partie 1 sur 3: Trouver le domaine d'une fonction
Étape 1. Décidez du type de fonction que vous allez effectuer
Le domaine de la fonction est constitué de toutes les valeurs x (axe horizontal) qui renverront des valeurs y valides. L'équation de la fonction peut être un quadratique, une fraction ou contenir une racine. Pour calculer le domaine de la fonction, la première chose à faire est d'examiner les variables de l'équation.
- Une fonction quadratique a la forme ax2 + bx + c: f(x) = 2x2 + 3x + 4
- Exemples de fonctions avec fractions: f(x) = (1/X), f(x) = (x+1)/(x - 1), et d'autres.
- Les fonctions qui ont des racines incluent: f(x) = x, f(x) = (x2 + 1), f(x) = -x, et ainsi de suite.
Étape 2. Notez le domaine avec une notation appropriée
L'écriture du domaine d'une fonction implique l'utilisation de crochets [,] ainsi que de crochets (,). Utilisez des crochets [,] si le numéro appartient au domaine et utilisez des crochets (,) si le domaine n'inclut pas le numéro. La lettre U désigne une union qui relie des parties du domaine qui peuvent être séparées par une distance.
- Par exemple, le domaine de [-2, 10) U (10, 2] inclut -2 et 2, mais n'inclut pas le nombre 10.
- Utilisez toujours des parenthèses () si vous utilisez le symbole de l'infini,.
Étape 3. Tracez un graphique de l'équation quadratique
Les équations quadratiques produisent un graphique parabolique qui s'ouvre vers le haut ou vers le bas. Considérant que la parabole continuera à l'infini sur l'axe des x, le domaine de la plupart des équations quadratiques est tous les nombres réels. En d'autres termes, une équation quadratique comprend toutes les valeurs x sur la droite numérique, donnant le domaine R (symbole pour tous les nombres réels).
- Pour résoudre la fonction, choisissez n'importe quelle valeur x et entrez-la dans la fonction. La résolution d'une fonction avec une valeur x renverra une valeur y. Les valeurs de x et y sont les coordonnées (x, y) d'un graphe de la fonction.
- Tracez ces coordonnées sur un graphique et répétez le processus avec une autre valeur x.
- Tracer certaines des valeurs dans ce modèle vous donnera un aperçu de la forme de la fonction quadratique.
Étape 4. Si l'équation de la fonction est une fraction, rendez le dénominateur égal à zéro
Lorsque vous travaillez avec des fractions, vous ne pouvez jamais diviser par zéro. En rendant le dénominateur égal à zéro et en trouvant la valeur de x, vous pouvez calculer les valeurs à extraire de la fonction.
- Par exemple: Déterminer le domaine de la fonction f(x) = (x+1)/(x - 1).
- Le dénominateur de la fonction est (x - 1).
- Rendez le dénominateur égal à zéro et calculez la valeur de x: x – 1 = 0, x = 1.
- Notez le domaine: Le domaine de la fonction n'inclut pas 1, mais inclut tous les nombres réels sauf 1; par conséquent, le domaine est (-∞, 1) U(1,).
- (-∞, 1) U (1,) peut être lu comme une collection de tous les nombres réels sauf 1. Le symbole de l'infini,, représente tous les nombres réels. Dans ce cas, tous les nombres réels supérieurs à 1 et inférieurs à 1 sont inclus dans le domaine.
Étape 5. Si l'équation est une fonction racine, rendez les variables racines supérieures ou égales à zéro
Vous ne pouvez pas utiliser la racine carrée d'un nombre négatif; par conséquent, toute valeur x qui conduit à un nombre négatif doit être supprimée du domaine de la fonction.
- Par exemple: Trouvez le domaine de la fonction f(x) = (x + 3).
- Les variables dans la racine sont (x + 3).
- Rendre la valeur supérieure ou égale à zéro: (x + 3) 0.
- Calculez la valeur de x: x -3. Résoudre pour x: x -3.
- Le domaine de la fonction comprend tous les nombres réels supérieurs ou égaux à -3; par conséquent, le domaine est [-3,).
Partie 2 sur 3: Trouver l'étendue d'une équation quadratique
Étape 1. Assurez-vous d'avoir une fonction quadratique
La fonction quadratique a la forme ax2 + bx + c: f(x) = 2x2 + 3x + 4. Le graphique de la fonction quadratique est une parabole qui s'ouvre vers le haut ou vers le bas. Il existe différentes manières de calculer la plage de la fonction selon le type de fonction sur laquelle vous travaillez.
Le moyen le plus simple de déterminer la plage d'autres fonctions, telles qu'une fonction racine ou une fonction de fraction, consiste à représenter graphiquement la fonction à l'aide d'une calculatrice graphique
Étape 2. Trouvez la valeur x du sommet de la fonction
Le sommet d'une fonction quadratique est le sommet de la parabole. Rappelez-vous, la forme de la fonction quadratique est ax2 + bx + c. Pour trouver la coordonnée x, utilisez l'équation x = -b/2a. L'équation est une dérivée d'une fonction quadratique de base qui représente une équation avec une pente/pente nulle (au sommet du graphique, le gradient de la fonction est nul).
- Par exemple, trouvez la plage de 3x2 + 6x -2.
- Calculer la coordonnée x du sommet: x = -b/2a = -6/(2*3) = -1
Étape 3. Calculez la valeur y du sommet de la fonction
Branchez la coordonnée x dans la fonction pour calculer la valeur y correspondante du sommet. Cette valeur y indique la limite de la plage de la fonction.
- Calculer la coordonnée y: y = 3x2 + 6x – 2 = 3(-1)2 + 6(-1) -2 = -5.
- Le sommet de cette fonction est (-1, -5).
Étape 4. Déterminez la direction de la parabole en insérant au moins une valeur x supplémentaire
Choisissez n'importe quelle autre valeur x et branchez-la dans la fonction pour calculer la valeur y appropriée. Si la valeur y est au-dessus du sommet, la parabole continue à +∞. Si la valeur y est inférieure au sommet, la parabole continuera à -∞.
- Utiliser la valeur x -2: y = 3x2 + 6x – 2 = y = 3(-2)2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
- Ce calcul renvoie les coordonnées (-2, -2).
- Ces coordonnées vous montrent que la parabole continue au-dessus du sommet (-1, -5); par conséquent, la plage comprend toutes les valeurs y supérieures à -5.
- La plage de cette fonction est [-5,).
Étape 5. Notez la plage avec une notation appropriée
Comme les domaines, les plages sont écrites avec la même notation. Utilisez des crochets [,] si le nombre se trouve dans la plage et utilisez des crochets (,) si la plage n'inclut pas le nombre. La lettre U indique une union qui relie des parties de la plage qui peuvent être séparées par une distance.
- Par exemple, la plage de [-2, 10) U (10, 2] comprend -2 et 2, mais n'inclut pas le nombre 10.
- Utilisez toujours des parenthèses si vous utilisez le symbole de l'infini,.
Partie 3 sur 3: Trouver la plage à partir du graphique d'une fonction
Étape 1. Dessinez la fonction
Souvent, le moyen le plus simple de déterminer l'étendue d'une fonction est de la représenter graphiquement. De nombreuses fonctions racine ont une plage (-∞, 0] ou [0, +∞) car le sommet de la parabole horizontale (parabole latérale) est sur l'axe horizontal des x. Dans ce cas, la fonction inclut toutes les valeurs y positives si la parabole s'ouvre, ou toutes les valeurs y négatives si la parabole s'ouvre vers le bas. Les fonctions fractionnaires auront des asymptotes (lignes qui ne sont jamais coupées par une ligne droite/courbe mais sont approchées à l'infini) qui définissent la plage de la fonction.
- Certaines fonctions racine démarreront au-dessus ou au-dessous de l'axe des x. Dans ce cas, la plage est déterminée par le numéro où commence la fonction racine. Si la parabole commence à y = -4 et monte alors la plage est [-4, +∞).
- La façon la plus simple de dessiner une fonction est d'utiliser un programme graphique ou une calculatrice graphique.
- Si vous n'avez pas de calculatrice graphique, vous pouvez dessiner une esquisse du graphique en insérant la valeur x dans la fonction et en obtenant la valeur y appropriée. Tracez ces coordonnées sur un graphique pour avoir une idée de ce à quoi ressemble le graphique.
Étape 2. Trouvez la valeur minimale de la fonction
Immédiatement après avoir dessiné la fonction, vous devriez pouvoir voir clairement le point le plus bas du graphique. S'il n'y a pas de valeur minimale claire, sachez que certaines fonctions continueront à -∞ (infini).
Une fonction de fraction inclura tous les points sauf ceux sur les asymptotes. La fonction a une plage comme (-∞, 6) U (6,)
Étape 3. Déterminez la valeur maximale de la fonction
Encore une fois, après avoir tracé le graphique, vous devriez être en mesure d'identifier le point maximum de la fonction. Certaines fonctions continueront à +∞ et n'auront donc pas de valeur minimale.
Étape 4. Écrivez la plage avec une notation appropriée
Comme les domaines, les plages sont écrites avec la même notation. Utilisez des crochets [,] si le nombre se trouve dans la plage et utilisez des crochets (,) si la plage n'inclut pas le nombre. La lettre U indique une union qui relie des parties de la plage qui peuvent être séparées par une distance.
- Par exemple, la plage de [-2, 10) U (10, 2] comprend -2 et 2, mais n'inclut pas le nombre 10.
- Utilisez toujours des parenthèses si vous utilisez le symbole de l'infini,.
