Comment dériver des fonctions implicites : 7 étapes (avec images)

2024 Auteur: Jason Gerald | [email protected]. Dernière modifié: 2024-01-19 22:12

En calcul, lorsque vous avez une équation pour y écrite sous la forme x (par exemple y = x² -3x), il est facile d'utiliser des techniques de dérivation de base (appelées par les mathématiciens techniques de dérivée de fonction implicite) pour trouver la dérivée. Cependant, pour les équations difficiles à construire avec seulement le terme y d'un côté du signe égal (par exemple x² + oui² - 5x + 8y + 2xy² = 19), une approche différente est nécessaire. Avec une technique appelée dérivées de fonctions implicites, il est facile de trouver des dérivées d'équations à plusieurs variables tant que vous connaissez les bases des dérivées de fonctions explicites !

Étape

Méthode 1 sur 2: Dérivation rapide d'équations simples

Étape 1. Dérivez les termes x comme d'habitude

Lorsque vous essayez de dériver une équation à plusieurs variables comme x² + oui² - 5x + 8y + 2xy² = 19, il peut être difficile de savoir par où commencer. Heureusement, la première étape de la dérivée d'une fonction implicite est la plus simple. Dérivez simplement les termes x et les constantes des deux côtés de l'équation selon les règles des dérivées ordinaires (explicites) pour commencer. Ignorez les termes y pour le moment.

• Essayons de dériver un exemple de l'équation simple ci-dessus. X² + oui² - 5x + 8y + 2xy² = 19 a deux termes x: x² et -5x. Si nous voulons dériver une équation, nous devons d'abord le faire, comme ceci:

  X² + oui² - 5x + 8y + 2xy² = 19

  (Réduire à la puissance 2 en x² comme coefficient, supprimez x en -5x, et changez 19 en 0)

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

Étape 2. Dérivez les termes y et ajoutez (dy/dx) à côté de chaque terme

Pour votre prochaine étape, dérivez simplement les termes y de la même manière que vous avez dérivé les termes x. Cette fois, cependant, ajoutez (dy/dx) à côté de chaque terme comme vous ajouteriez des coefficients. Par exemple, si vous abaissez y², alors la dérivée devient 2y(dy/dx). Ignorez les termes qui ont x et y pour le moment.

• Dans notre exemple, notre équation ressemble maintenant à ceci: 2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0. Nous allons effectuer l'étape suivante pour dériver y comme suit:

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

  (Réduire à la puissance 2 en y² comme coefficients, enlevez y dans 8y et mettez dy/dx à côté de chaque terme).

  2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy²= 0

Étape 3. Utilisez la règle du produit ou la règle du quotient pour les termes ayant x et y

Travailler avec des termes qui ont x et y est un peu délicat, mais si vous connaissez les règles du produit et du quotient pour les dérivées, vous le trouverez facile. Si les termes x et y sont multipliés, utilisez la règle du produit ((f × g)' = f' × g + g × f'), en substituant le terme x pour f et le terme y pour g. En revanche, si les termes x et y s'excluent mutuellement, utilisez la règle du quotient ((f/g)' = (g × f' - g' × f)/g²), en remplaçant le numérateur par f et le dénominateur par g.

• Dans notre exemple, 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy² = 0, nous n'avons qu'un seul terme qui a x et y - 2xy². Puisque x et y sont multipliés l'un par l'autre, nous utiliserons la règle du produit pour dériver comme suit:

  2xy² = (2x)(y²)- définir 2x = f et y² = g dans (f × g)' = f' × g + g × f'

  (f × g)' = (2x)' × (y²) + (2x) × (y²)'

  (f × g)' = (2) × (y²) + (2x) × (2y(dy/dx))

  (f × g)' = 2 ans² + 4xy(dy/dx)

• En ajoutant ceci à notre équation principale, nous obtenons 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y² + 4xy(dy/dx) = 0

Étape 4. Seul (dy/dx)

Vous avez presque fini! Il ne vous reste plus qu'à résoudre l'équation (dy/dx). Cela semble difficile, mais ce n'est généralement pas le cas - rappelez-vous que deux termes a et b sont multipliés par (dy/dx) peuvent être écrits comme (a + b) (dy/dx) en raison de la propriété distributive de la multiplication. Cette tactique peut faciliter l'isolement (dy/dx) - il suffit de déplacer tous les autres termes de l'autre côté des parenthèses, puis de diviser par les termes entre parenthèses à côté de (dy/dx).

• Dans notre exemple, nous simplifions 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y² + 4xy(dy/dx) = 0 comme suit:

  2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y² + 4xy(dy/dx) = 0

  (2y + 8 + 4xy)(dy/dx) + 2x - 5 + 2y² = 0

  (2y + 8 + 4xy)(dy/dx) = -2y² - 2x + 5

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2y + 8 + 4xy)

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2(2xy + y + 4)

Méthode 2 sur 2: Utilisation de techniques avancées

Étape 1. Saisissez la valeur (x, y) à rechercher (dy/dx) pour n'importe quel point

En sécurité! Vous avez déjà dérivé implicitement votre équation - ce n'est pas une tâche facile du premier coup ! Utiliser cette équation pour trouver le gradient (dy/dx) pour n'importe quel point (x, y) est aussi simple que de brancher les valeurs x et y de votre point sur le côté droit de l'équation, puis de trouver (dy/dx).

• Par exemple, supposons que nous voulions trouver le gradient au point (3, -4) pour notre exemple d'équation ci-dessus. Pour ce faire, nous substituerons 3 à x et -4 à y, en résolvant comme suit:

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2(2xy + y + 4)

  (dy/dx) = (-2(-4)² - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)

  (dy/dx) = (-2(16) - 6 + 5)/(2(2(3)(-4))

  (dy/dx) = (-32) - 6 + 5)/(2(2(-12))

  (dy/dx) = (-33)/(2(2(-12))

  (dy/dx) = (-33)/(-48) = 3/48, ou 0, 6875.

Étape 2. Utilisez la règle de chaîne pour les fonctions dans les fonctions

La règle de la chaîne est une connaissance importante à avoir lorsque l'on travaille sur des problèmes de calcul (y compris les problèmes de dérivée de fonction implicite). La règle de la chaîne stipule que pour une fonction F(x) qui peut être écrite comme (f o g)(x), la dérivée de F(x) est égale à f'(g(x))g'(x). Pour les problèmes de dérivée de fonction implicite difficiles, cela signifie qu'il est possible de dériver les différentes parties individuelles de l'équation, puis de combiner les résultats.

• Comme exemple simple, supposons que nous devions trouver la dérivée de sin(3x² + x) dans le cadre du plus grand problème de dérivée de fonction implicite pour l'équation sin(3x² +x) + y³ = 0. Si nous imaginons sin(3x² + x) comme f(x) et 3x² + x comme g(x), on peut trouver la dérivée comme suit:

  f'(g(x))g'(x)

  (péché (3x² + x))' × (3x² +x)'

  cos (3x² +x) × (6x + 1)

  (6x + 1)cos(3x² +x)

Étape 3. Pour les équations avec les variables x, y et z, trouvez (dz/dx) et (dz/dy)

Bien qu'inhabituelles dans le calcul de base, certaines applications avancées peuvent nécessiter la dérivation de fonctions implicites de plus de deux variables. Pour chaque variable supplémentaire, vous devez trouver sa dérivée supplémentaire par rapport à x. Par exemple, si vous avez x, y et z, vous devez rechercher à la fois (dz/dy) et (dz/dx). Nous pouvons le faire en dérivant l'équation par rapport à x deux fois - d'abord, nous entrerons (dz/dx) chaque fois que nous dérivons un terme contenant z, et deuxièmement, nous insérons (dz/dy) chaque fois que nous dérivons z. Après cela, il ne reste plus qu'à résoudre (dz/dx) et (dz/dy).

• Par exemple, disons que nous essayons de dériver x³z² - 5xy⁵z = x² + oui³.

• Tout d'abord, dérivons contre x et entrons (dz/dx). N'oubliez pas d'appliquer la règle du produit si besoin !

  X³z² - 5xy⁵z = x² + oui³

  3x²z² + 2x³z(dz/dx) - 5y⁵z - 5xy⁵(dz/dx) = 2x

  3x²z² + (2x³z - 5xy⁵)(dz/dx) - 5y⁵z = 2x

  (2x³z - 5xy⁵)(dz/dx) = 2x - 3x²z² + 5 ans⁵z

  (dz/dx) = (2x - 3x²z² + 5 ans⁵z)/(2x³z - 5xy⁵)

• Maintenant, fais de même pour (dz/dy)

  X³z² - 5xy⁵z = x² + oui³

  2x³z(dz/dy) - 25xy⁴z - 5xy⁵(jj/j) = 3y²

  (2x³z - 5xy⁵)(dz/dy) = 3y² + 25xy⁴z

  (dz/dy) = (3y² + 25xy⁴z)/(2x³z - 5xy⁵)