Une partie de base de l'apprentissage de l'algèbre est d'apprendre à trouver l'inverse d'une fonction, ou f(x). L'inverse d'une fonction est représenté par f^-1(x), et l'inverse est généralement représenté visuellement comme la fonction initiale reflétée par la ligne y=x. Cet article va vous montrer comment trouver l'inverse d'une fonction.
Étape
Étape 1. Assurez-vous que votre fonction est une fonction un-à-un (injective)
Seules les fonctions un-à-un ont un inverse.
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Une fonction est une fonction un-à-un si elle réussit le test de la ligne verticale et le test de la ligne horizontale. Tracez une ligne verticale à travers tout le graphique de la fonction et comptez le nombre de fois qu'elle atteint la fonction. Ensuite, tracez une ligne horizontale à travers tout le graphique de la fonction et comptez le nombre d'occurrences de cette ligne sur la fonction. Si chaque ligne n'atteint la fonction qu'une seule fois, alors la fonction est une fonction un-à-un.
Si un graphique ne passe pas le test de la ligne verticale, ce n'est pas une fonction
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Pour déterminer algébriquement si une fonction est une fonction un-à-un, branchez f(a) et f(b) dans votre fonction pour voir si a = b. Par exemple, prenons f(x) = 3x+5.
- f(a) = 3a + 5; f(b) = 3b + 5
- 3a + 5 = 3b + 5
- 3a = 3b
- a = b
- Ainsi, f(x) est une fonction un-à-un.
Étape 2. Puisqu'il s'agit d'une fonction, modifiez le x et le y
Souvenez-vous que f(x) remplace "y".
- Dans une fonction, "f(x)" ou "y" représente la sortie et "x" représente l'entrée. Pour trouver l'inverse d'une fonction, vous échangez l'entrée et la sortie.
- Exemple: Utilisons f(x) = (4x+3)/(2x+5) – qui est une fonction un-à-un. En échangeant x et y, on obtient x = (4y + 3)/(2y + 5).
Étape 3. Trouvez le nouveau "y"
Vous devez changer l'expression pour trouver y, ou pour trouver de nouvelles opérations à effectuer sur l'entrée pour obtenir l'inverse en sortie.
- Cela peut être délicat, selon votre expression. Vous devrez peut-être utiliser des astuces algébriques comme la multiplication croisée ou la factorisation pour évaluer les expressions et les simplifier.
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Dans notre exemple, nous allons effectuer les étapes suivantes pour isoler y:
- On commence par x = (4y + 3)/(2y + 5)
- x(2y + 5) = 4y + 3 – Multiplier les deux côtés par (2y + 5)
- 2xy + 5x = 4y + 3 – Distribuer x
- 2xy - 4y = 3 - 5x – Déplacer tous les termes y d'un côté
- y(2x - 4) = 3 - 5x – Distribuer à l'envers pour combiner les termes y
- y = (3 - 5x)/(2x - 4) – Divisez pour obtenir votre réponse
Étape 4. Remplacez le nouveau "y" par f^-1(x)
C'est l'équation de l'inverse de votre fonction d'origine.
