Comment calculer manuellement les racines carrées (avec des images)

2024 Auteur: Jason Gerald | [email protected]. Dernière modifié: 2024-01-15 08:14

Avant l'invention des calculatrices, les étudiants et les professeurs devaient calculer manuellement les racines carrées. Plusieurs moyens différents ont été développés pour surmonter ce processus difficile. Certains moyens donnent une estimation approximative et d'autres une valeur exacte. Pour apprendre à trouver la racine carrée d'un nombre à l'aide d'opérations simples, reportez-vous à l'étape 1 ci-dessous pour commencer.

Étape

Méthode 1 sur 2: Utilisation de la factorisation en nombres premiers

Étape 1. Divisez votre nombre en facteurs carrés parfaits

Cette méthode utilise les facteurs d'un nombre pour trouver la racine carrée du nombre (selon le nombre, la réponse peut être un nombre exact ou une approximation proche). Les facteurs d'un nombre sont un ensemble d'autres nombres qui, une fois multipliés, produisent ce nombre. Par exemple, vous pourriez dire que les facteurs de 8 sont 2 et 4 parce que 2 × 4 = 8. Pendant ce temps, les carrés parfaits sont des nombres entiers qui sont le produit d'autres nombres entiers. Par exemple, 25, 36 et 49 sont des carrés parfaits car ils sont respectivement 5.², 6², et 7². Comme vous l'avez peut-être deviné, les facteurs carrés parfaits sont des facteurs qui sont également des carrés parfaits. Pour commencer à trouver la racine carrée par factorisation en nombres premiers, essayez d'abord de simplifier votre nombre en ses facteurs carrés parfaits.

• Utilisons un exemple. Nous voulons trouver la racine carrée de 400 manuellement. Pour commencer, nous allons diviser le nombre en ses facteurs carrés parfaits. Puisque 400 est un multiple de 100, nous savons que 400 est divisible par 25 – un carré parfait. Avec une division rapide des ombres, nous trouvons que 400 divisé par 25 égale 16. Par coïncidence, 16 est également un carré parfait. Ainsi, les facteurs carrés parfaits de 400 sont 25 et 16 car 25 × 16 = 400.
• Nous pouvons l'écrire sous la forme: Sqrt(400) = Sqrt (25 × 16)

Étape 2. Trouvez la racine carrée de vos facteurs carrés parfaits

La propriété de multiplication de la racine carrée stipule que pour tout nombre a et b, Sqrt(a × b) = Sqrt(a) × Sqrt(b). En raison de cette propriété, nous pouvons maintenant trouver la racine carrée de nos facteurs carrés parfaits et les multiplier pour obtenir notre réponse.

• Dans notre exemple, nous allons trouver les racines carrées de 25 et 16. Voir ci-dessous:

  • Racine (25 × 16)
  • Racine(25) × Racine(16)

  • 5 × 4 =

    Étape 20.

Étape 3. Si votre nombre ne peut pas être pris en compte parfaitement, simplifiez votre réponse sous sa forme la plus simple

Dans la vraie vie, souvent les nombres dont vous avez besoin pour trouver la racine carrée ne sont pas des nombres entiers agréables avec des facteurs carrés parfaits évidents comme 400. Dans ces cas, il est possible que nous ne puissions pas trouver la bonne réponse sous forme de nombre entier. Cependant, en trouvant autant de facteurs carrés parfaits que possible, vous pouvez trouver la réponse sous la forme d'une racine carrée plus petite, plus simple et plus facile à calculer. Pour ce faire, réduisez votre nombre à une combinaison de facteurs carrés parfaits et de facteurs carrés imparfaits, puis simplifiez.

• Prenons comme exemple la racine carrée de 147. 147 n'est pas un produit de deux carrés parfaits, nous ne pouvons donc pas obtenir la valeur entière exacte comme ci-dessus. Cependant, 147 est le produit d'un carré parfait et d'un autre nombre – 49 et 3. Nous pouvons utiliser cette information pour écrire notre réponse dans sa forme la plus simple comme suit:

  • Racine(147)
  • = Racine (49 × 3)
  • = Sqrt(49) × Sqrt(3)
  • = 7 × Racine(3)

Étape 4. Si besoin, faites une estimation

Avec votre racine carrée dans sa forme la plus simple, il est généralement assez facile d'obtenir une estimation approximative de la réponse numérique en devinant la valeur de la racine carrée restante et en la multipliant. Une façon de guider votre estimation est de rechercher des carrés parfaits qui sont supérieurs et inférieurs au nombre de votre racine carrée. Vous remarquerez que la valeur décimale du nombre dans votre racine carrée est entre les deux nombres, vous pouvez donc deviner la valeur entre les deux nombres.

• Revenons à notre exemple. parce que 2² = 4 et 1² = 1, nous savons que Root(3) est compris entre 1 et 2 – probablement plus proche de 2 que 1. Nous estimons 1, 7. 7 × 1, 7 = 11, 9. Si nous vérifions notre réponse sur la calculatrice, nous pouvons voir que notre réponse est assez proche de la vraie réponse qui est 12, 13.

  Ceci s'applique également aux plus grands nombres. Par exemple, Root(35) peut être approximé entre 5 et 6 (éventuellement plus proche de 6). 5² = 25 et 6² = 36. 35 est compris entre 25 et 36, donc la racine carrée doit être comprise entre 5 et 6. Comme 35 n'est qu'un de moins que 36, on peut dire avec certitude que la racine carrée est légèrement inférieure à 6. Vérifier avec une calculatrice va donnez-nous la réponse est d'environ 5, 92 - nous avons raison.

Étape 5. Vous pouvez également réduire votre nombre à ses facteurs les moins courants comme première étape

Trouver les facteurs des carrés parfaits n'est pas nécessaire si vous pouvez facilement déterminer les facteurs premiers d'un nombre (facteurs qui sont aussi des nombres premiers). Écrivez votre nombre en fonction de ses facteurs les moins communs. Ensuite, trouvez les paires de nombres premiers qui correspondent à vos facteurs. Lorsque vous trouvez deux facteurs premiers identiques, supprimez ces deux nombres de la racine carrée et placez l'un de ces nombres en dehors de la racine carrée.

• Par exemple, trouvez la racine carrée de 45 en utilisant cette méthode. Nous savons que 45 × 5 et nous savons que sous 9 = 3 × 3. Ainsi, nous pouvons écrire notre racine carrée en termes de facteurs comme ceci: Sqrt(3 × 3 × 5). Supprimez simplement les deux 3 et placez un 3 à l'extérieur de la racine carrée pour simplifier votre racine carrée à sa forme la plus simple: (3) Racine (5).

  À partir de là, nous serons faciles à estimer.

• Comme dernier exemple de problème, essayons de trouver la racine carrée de 88:

  • Racine(88)
  • = Racine (2 × 44)
  • = Racine (2 × 4 × 11)
  • = Racine(2 × 2 × 2 × 11). Nous en avons 2 dans notre racine carrée. Puisque 2 est un nombre premier, nous pouvons supprimer une paire de 2 et mettre l'un d'eux en dehors de la racine carrée.

  • = Notre racine carrée dans sa forme la plus simple est (2) Sqrt(2 × 11) ou (2) Racine(2) Racine(11).

    À partir de là, nous pouvons estimer Sqrt(2) et Sqrt(11) et trouver la réponse approximative que nous voulons.

Méthode 2 sur 2: Recherche manuelle de la racine carrée

Utilisation de l'algorithme de division longue

Étape 1. Séparez les chiffres de votre numéro en paires

Cette méthode utilise un processus similaire à la division longue pour trouver la racine carrée exacte chiffre par chiffre. Bien que ce ne soit pas obligatoire, vous trouverez peut-être plus facile d'effectuer ce processus si vous organisez visuellement votre lieu de travail et vos numéros en parties faciles à travailler. Tout d'abord, tracez une ligne verticale divisant votre zone de travail en deux sections, puis tracez une ligne horizontale plus courte près du coin supérieur droit pour diviser la section droite en une section supérieure plus petite et une section inférieure plus grande. Ensuite, séparez vos chiffres par paires, en commençant par la virgule décimale. Par exemple, en suivant cette règle, 79 520 789 182 47897 devient "7 95 20 78 91 82. 47 89 70". Écrivez votre numéro en haut à gauche.

Par exemple, essayons de calculer la racine carrée de 780, 14. Tracez deux lignes pour diviser votre lieu de travail comme ci-dessus et écrivez "7 80. 14" en haut à gauche. Peu importe que le nombre le plus à gauche soit un nombre unique et non une paire de nombres. Vous écrivez votre réponse (racine carrée 780, 14) en haut à droite

Étape 2. Trouvez le plus grand nombre entier dont la valeur carrée est inférieure ou égale au nombre (ou paire de nombres) à l'extrême gauche

Commencez à l'extrême gauche de votre numéro, les paires de numéros et les numéros simples. Trouvez le plus grand carré parfait inférieur ou égal à ce nombre, puis trouvez la racine carrée de ce carré parfait. Ce nombre est n. Écrivez n dans le coin supérieur droit et écrivez le carré de n dans le quadrant inférieur droit.

Dans notre exemple, l'extrême gauche est le chiffre 7. Parce que nous savons que 2² = 4 ≤ 7 < 3² = 9, on peut dire que n = 2 car 2 est le plus grand entier dont le carré est inférieur ou égal à 7. Écrivez 2 dans le quadrant supérieur droit. C'est le premier chiffre de notre réponse. Écrivez 4 (valeur carrée de 2) dans le quadrant inférieur droit. Ce numéro est important pour la prochaine étape.

Étape 3. Soustrayez le nombre que vous venez de calculer de la paire la plus à gauche

Comme pour la division longue, l'étape suivante consiste à soustraire la valeur du carré que nous venons de trouver de la partie que nous venons d'analyser. Écrivez ce nombre sous la première partie et soustrayez-le, en écrivant votre réponse en dessous.

• Dans notre exemple, nous écrirons 4 sous 7, puis le soustrayons. Cette soustraction donne une réponse

  Étape 3..

Étape 4. Déposez la paire suivante

Descendez la section suivante du nombre dont vous recherchez la racine carrée, à côté de la valeur de soustraction que vous venez de trouver. Ensuite, multipliez le nombre dans le quadrant supérieur droit par deux et écrivez la réponse dans le quadrant inférieur droit. À côté du nombre que vous venez d'écrire, laissez un espace pour le problème de multiplication que vous ferez à l'étape suivante en écrivant '"_×_="'.

Dans notre exemple, la prochaine paire de nos nombres est "80". Écrivez « 80 » à côté de 3 dans le quadrant gauche. Ensuite, multipliez le nombre en haut à droite par deux. Ce nombre est 2, donc 2 × 2 = 4. Écrivez "'4"' dans le quadrant inférieur droit, suivi de _×_=.

Étape 5. Remplissez les blancs dans le quadrant droit

Vous devez remplir tous les blancs que vous venez d'écrire dans le bon quadrant avec le même nombre entier. Cet entier doit être le plus grand entier qui rend le produit dans le quadrant droit inférieur ou égal au nombre actuellement sur la gauche.

Dans notre exemple, nous remplissons les blancs avec 8, ce qui donne 4(8) × 8 = 48 × 8 = 384. Cette valeur est supérieure à 384. Ainsi, 8 est trop grand, mais 7 pourrait fonctionner. Écrivez 7 dans les blancs et résolvez: 4(7) × 7 = 329. 7 est un nombre correct car 329 est inférieur à 380. Écrivez 7 dans le quadrant supérieur droit. C'est le deuxième chiffre de la racine carrée de 780, 14

Étape 6. Soustrayez le nombre que vous venez de calculer du nombre maintenant à gauche

Continuez avec la chaîne de soustraction en utilisant la méthode de division longue. Prenez le produit du problème dans le quadrant droit et soustrayez-le du nombre qui se trouve maintenant à gauche, tout en écrivant vos réponses ci-dessous.

Dans notre exemple, on soustraira 329 à 380, ce qui donnera le résultat 51.

Étape 7. Répétez l'étape 4

Dérivez la partie suivante du nombre dont vous recherchez la racine carrée. Lorsque vous atteignez la virgule décimale de votre nombre, écrivez la virgule décimale de votre réponse dans le quadrant supérieur droit. Ensuite, multipliez le nombre en haut à droite par 2 et écrivez-le à côté du problème de multiplication vide ("_ × _") comme ci-dessus.

Dans notre exemple, puisque nous avons maintenant affaire à la virgule décimale dans 780, 14, écrivez la virgule décimale après notre réponse actuelle en haut à droite. Ensuite, descendez la paire suivante (14) dans le quadrant gauche. Deux fois le nombre en haut à droite (27) est égal à 54, alors écrivez "54 _×_=" dans le quadrant inférieur droit

Étape 8. Répétez les étapes 5 et 6

Trouvez le plus grand chiffre pour remplir les blancs à droite, ce qui donne une réponse inférieure ou égale au nombre actuellement à gauche. Ensuite, résolvez le problème.

Dans notre exemple, 549 × 9 = 4941, ce qui est inférieur ou égal au nombre de gauche (5114). 549 × 10 = 5490 est trop grand, donc 9 est votre réponse. Écrivez 9 comme chiffre suivant dans le quadrant supérieur droit et soustrayez le produit du nombre à gauche: 5114 moins 4941 égale 173

Étape 9. Pour continuer à compter les chiffres, abaissez la paire de zéros à gauche et répétez les étapes 4, 5 et 6

Pour une plus grande précision, continuez ce processus pour trouver les centaines, les milliers et plus d'endroits dans votre réponse. Continuez à utiliser ce cycle jusqu'à ce que vous trouviez la décimale souhaitée.

Comprendre le processus

Étape 1. Imaginez le nombre dont vous avez calculé la racine carrée comme l'aire S d'un carré

Puisque l'aire d'un carré est P² où P est la longueur de l'un des côtés, alors en essayant de trouver la racine carrée de votre nombre, vous essayez en fait de calculer la longueur P de ce côté du carré.

Étape 2. Déterminez les variables de lettre pour chaque chiffre de votre réponse

Définissez la variable A comme premier chiffre de P (la racine carrée que nous essayons de calculer). B sera le deuxième chiffre, C le troisième chiffre, et ainsi de suite.

Étape 3. Déterminez les variables de lettre pour chaque partie de votre numéro de départ

Définir la variable S_une pour la première paire de chiffres de S (votre valeur initiale), S_b pour la deuxième paire de chiffres, etc.

Étape 4. Comprenez la relation entre cette méthode et la division longue

Cette méthode pour trouver la racine carrée est essentiellement un long problème de division qui divise votre nombre initial par la racine carrée, vous donnant la racine carrée de la réponse. Tout comme dans le problème de la division longue, vous ne vous intéressez qu'au chiffre suivant de chaque étape. De cette façon, vous n'êtes intéressé que par les deux chiffres suivants de chaque étape (qui est le chiffre suivant de chaque étape pour la racine carrée).

Étape 5. Trouvez le plus grand nombre dont la valeur carrée est inférieure ou égale à S_une.

Le premier chiffre de A dans notre réponse est le plus grand entier dont la valeur carrée ne dépasse pas S_une (c'est-à-dire A de sorte que A² Sa < (A+1)²). Dans notre exemple, S_une = 7 et 2² 7 < 3², donc A = 2.

Notez que, par exemple, si vous souhaitez diviser 88962 par 7 en utilisant une division longue, les premières étapes sont à peu près les mêmes: vous verrez le premier chiffre de 88962 (qui est 8) et vous recherchez le plus grand chiffre qui, multiplié par 7, est inférieur ou égal à 8 En gros, vous cherchez d tel que 7×d 8 < 7×(d+1). Dans ce cas, d sera égal à 1

Étape 6. Imaginez la valeur du carré dont vous êtes sur le point de commencer à travailler

Votre réponse, la racine carrée de votre numéro de départ, est P, qui décrit la longueur du carré d'aire S (votre numéro de départ). Vos notes pour A, B, C représentent les chiffres de la valeur de P. Une autre façon de le dire est 10A + B = P (pour une réponse à deux chiffres), 100A + 10B + C = P (pour une réponse à trois chiffres), réponse chiffrée), etc.

Dans notre exemple, (10A+B)² = P² = S = 100A² + 2×10A×B + B². N'oubliez pas que 10A+B représente notre réponse, P, avec B dans la position des unités et A dans la position des dizaines. Par exemple, avec A=1 et B=2, alors 10A+B est égal à 12. (10A+B)² est l'aire totale du carré, tandis que 100A² est l'aire de la plus grande place de celui-ci, B² est l'aire du plus petit carré de celui-ci, et 10A × B est l'aire des deux rectangles restants. En faisant ce processus long et alambiqué, nous trouvons l'aire totale d'un carré en additionnant les aires des carrés et des rectangles à l'intérieur.

Étape 7. Soustraire A² de S_une.

Diminuer une paire de chiffres (S_b) de S. Valeur de S_une S_b proche de l'aire totale du carré, que vous venez d'utiliser pour soustraire le plus grand carré intérieur. Le reste peut être considéré comme le nombre N1, que nous avons obtenu à l'étape 4 (N1 = 380 dans notre exemple). N1 est égal à 2&fois:10A×B + B² (aire des deux rectangles plus l'aire du plus petit carré).

Étape 8. Trouvez N1 = 2×10A×B + B², qui s'écrit également N1 = (2×10A + B) × B

Dans notre exemple, vous connaissez déjà N1 (380) et A(2), vous devez donc trouver B. B n'est probablement pas un nombre entier, vous devez donc vraiment trouver le plus grand entier B tel que (2×10A + B) × B N1. Vous avez donc: N1 < (2×10A + (B+1)) × (B+1).)

Étape 9. Terminer

Pour résoudre cette équation, multipliez A par 2, décalez le résultat à la position des dizaines (l'équivalent de multiplier par 10), mettez B à la position des unités et multipliez le nombre par B. En d'autres termes, résolvez (2×10A + B) × B. C'est exactement ce que vous faites lorsque vous écrivez "N_×_=" (avec N=2×A) dans le quadrant inférieur droit à l'étape 4. À l'étape 5, vous trouvez le plus grand entier B qui correspond à le nombre en dessous de sorte que (2× 10A + B) × B N1.

Étape 10. Soustrayez la surface (2×10A + B) × B de la surface totale

Cette soustraction donne l'aire S-(10A+B)² qui n'a pas été calculée (et qui sera utilisée pour calculer le chiffre suivant de la même manière).

Étape 11. Pour calculer le chiffre suivant, C, répétez le processus

Abaissez la paire suivante (S_c) de S pour obtenir N2 à gauche, et trouvez le plus grand C de sorte que vous ayez (2×10×(10A+B)+C) × C N2 (équivalent à écrire deux fois le nombre à deux chiffres "AB" suivi de "_× _=". Trouvez le plus grand chiffre correspondant dans les blancs, ce qui donne une réponse inférieure ou égale à N2, comme précédemment.

Des astuces

• Déplacer une virgule décimale d'un multiple de deux chiffres dans un nombre (un multiple de 100), signifie déplacer une virgule décimale d'un multiple d'un chiffre dans sa racine carrée (un multiple de 10).
• Dans cet exemple, 1,73 peut être considéré comme un "reste": 780, 14 = 27, 9² + 1,73.
• Cette méthode peut être utilisée pour n'importe quelle base, pas seulement la base 10 (décimale).
• Vous pouvez utiliser le calcul qui est plus pratique pour vous. Certaines personnes écrivent le résultat au-dessus du nombre initial.
• Une autre façon d'utiliser des fractions répétées est de suivre cette formule: z = (x^2+y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x + …))). Par exemple, pour calculer la racine carrée de 780, 14, l'entier dont la valeur au carré est la plus proche de 780, 14 est 28, donc z=780, 14, x=28, et y=-3, 86. Saisie des valeurs et en calculant des estimations uniquement pour x + y/(2x) cela donne (en termes les plus simples) 78207/20800 ou environ 27, 931(1); prochain terme, 4374188/156607 ou environ 27, 930986(5). Chaque terme ajoute environ 3 décimales à la précision du nombre précédent de décimales.

Avertissement

Assurez-vous de séparer les chiffres par paires en commençant par la virgule décimale. Divise 79 520 789 182, 47897 en "79 52 07 89 18 2, 4 78 97" renverra un nombre inutile.