Les carrés magiques sont devenus populaires avec l'invention de jeux basés sur les mathématiques comme le Sudoku. Un carré magique est un arrangement de nombres dans un carré tel que la somme de chaque ligne, colonne et diagonale soit égale à un nombre fixe, appelé la « constante magique ». Cet article vous expliquera comment résoudre toutes sortes de carrés magiques, à la fois d'ordre impair, d'ordre pair non multiple de quatre, ou même d'ordre multiple de quatre.
Étape
Méthode 1 sur 3: Résoudre les carrés magiques d'ordre impair
Étape 1. Calculez la constante magique
Vous pouvez trouver ce nombre en utilisant une formule mathématique simple, où n = le nombre de lignes ou de colonnes dans le carré magique. Par exemple, pour un carré magique 3x3, alors n = 3. Constante magique = [n * (n * n + 1)] / 2. Donc dans l'exemple avec un carré 3x3:
- Somme = [3*(3*3+1)]/2
- Somme = [3 * (9 + 1)] / 2
- Quantité = (3 * 10) / 2
- Quantité = 30/2
- La constante magique pour un carré magique 3x3 est 30/2, soit 15.
- Toutes les lignes, colonnes et diagonales doivent correspondre à ce nombre.
Étape 2. Placez le numéro 1 dans le carré du milieu de la rangée du haut
C'est là que vous commencez toujours pour les carrés magiques d'ordre impair, peu importe la taille des carrés magiques. Donc, si vous avez un carré magique 3x3, placez 1 dans le carré 2 (deuxième carré en partant de la gauche ou de la droite). Autre exemple, pour un carré magique 15x15, placez le chiffre 1 dans le carré 8 (le huitième carré en partant de la gauche ou de la droite).
Étape 3. Remplissez les chiffres restants en utilisant le modèle "un carré vers le haut, un carré vers la droite"
Vous saisirez toujours les nombres dans l'ordre (1, 2, 3, 4, etc.) en remontant d'une ligne, puis d'une colonne à droite. Bientôt, vous remarquerez que pour placer le numéro 2, vous dépasserez la rangée du haut, hors du carré magique. Cela n'a pas d'importance, car même si vous entrez toujours des nombres d'une case vers le haut, à droite de cette case, il existe trois exceptions qui ont également des règles structurées et prévisibles:
- Si le mouvement du remplissage du nombre vous mène à une case qui passe par la rangée supérieure du carré magique, restez dans la colonne de ce carré, mais placez le nombre dans la rangée inférieure de cette colonne.
- Si le mouvement de la numérotation vous mène à une case qui passe par la colonne la plus à droite du carré magique, alors restez dans la rangée de ce carré, mais placez les nombres dans la colonne la plus à gauche de cette rangée.
- Si le mouvement des numéros de remplissage vous fait aller dans une case qui a été remplie, revenez à la case précédente qui a été remplie et placez le numéro suivant sous cette case.
Méthode 2 sur 3: Résoudre des carrés magiques d'ordre pair et non des multiples de quatre
Étape 1. Comprenez ce que signifie un carré magique d'ordre pair et non un multiple de quatre
Tout le monde sait que les nombres pairs sont divisibles par deux, mais dans les carrés magiques, il existe différentes méthodologies pour résoudre les carrés d'ordre pair qui ne sont pas des multiples de quatre (carré magique simple pair) et ceux qui sont multiples de quatre (carré magique double pair).
- Les carrés d'ordre pair qui ne sont pas des multiples de quatre ont un nombre de carrés de chaque côté qui sont divisibles par deux, mais non divisibles par quatre.
- Les carrés magiques d'ordre pair qui ne sont pas des multiples de quatre sont le plus petit est 6x6, car les carrés magiques 2x2 ne peuvent pas être créés.
Étape 2. Calculez la constante magique
Utilisez la même méthode qu'avec un carré magique d'ordre impair: la constante magique = [n * (n * n + 1)] / 2, où n = le nombre de carrés de chaque côté. Donc, dans l'exemple d'un carré magique 6x6:
- Somme = [6*(6*6+1)]/2
- Somme = [6 * (36 + 1)] / 2
- Quantité = (6 * 37) / 2
- Quantité = 222 / 2
- La constante magique pour un carré magique 6x6 est 222/2, soit 111.
- Toutes les lignes, colonnes et diagonales doivent correspondre à ce nombre.
Étape 3. Divisez le carré magique en quatre quadrants de taille égale
Marquez-les avec A (en haut à gauche), C (en haut à droite), D (en bas à gauche) et B (en bas à droite). Pour connaître la taille de chaque quadrant, il suffit de diviser par deux le nombre de carrés dans chaque ligne ou colonne.
Ainsi, pour un carré de 6x6, la taille de chaque quadrant est de 3x3 carrés
Étape 4. Donnez à chaque quadrant une plage de nombres
Le quadrant A obtient un quart des premiers nombres, le quadrant B est un quart des deuxièmes nombres, le quadrant C est un quart des troisièmes nombres et le quadrant D est le dernier quart de la plage totale de nombres pour un carré magique 6x6.
Dans l'exemple du carré 6x6, le quadrant A sera numéroté de 1 à 9, le quadrant B de 10 à 18, le quadrant C de 19 à 27 et le quadrant D de 28 à 36
Étape 5. Résolvez chaque quadrant en utilisant la méthodologie des carrés magiques d'ordre impair
Le quadrant A sera facile à remplir, car il commence par le chiffre 1, tout comme un carré magique en général. Mais pour les quadrants B à D, nous allons commencer par les nombres inhabituels 10, 19 et 28, pour cet exemple.
- Pensez au premier nombre de chaque quadrant comme s'il s'agissait d'un. Placez-le dans la case centrale sur la rangée supérieure de chaque quadrant.
- Pensez à chaque quadrant comme s'il s'agissait de son propre carré magique. Même si une case se trouve dans un quadrant adjacent, ignorez la case et procédez selon la règle "d'exception" appropriée à la situation.
Étape 6. Créez les faits saillants A et D
Si vous essayez d'additionner les colonnes, les lignes et les diagonales à ce stade, vous remarquerez qu'elles n'égalent pas encore la constante magique. Vous devrez échanger quelques carrés entre les quadrants supérieur gauche et inférieur gauche pour compléter le carré magique. Nous appellerons ces zones permutées Highlights A et Highlights D. (Remarques:
les explications de cette étape et de la suivante sont plus spécifiques aux carrés magiques 6x6, qui peuvent ne pas convenir aux carrés magiques plus grands).
- À l'aide d'un crayon, marquez toutes les cases de la rangée du haut jusqu'à ce que vous atteigniez la position médiane de la case du quadrant A. (Remarque: La médiane peut être trouvée à partir de la formule n = (4 * m) + 2, avec m comme médiane). Ainsi, dans un carré 6x6, vous marqueriez uniquement le carré 1 (qui contient le numéro 8 dans la case), mais dans un carré 10x10, vous marqueriez les carrés 1 et 2 (qui contiennent les numéros 17 et 24 dans les deux carrés, respectivement).).
- Marquez une zone sous forme de carré en utilisant les cases qui ont été marquées comme rangée du haut. Si vous ne cochez qu'une seule case, alors votre carré n'est que cette case. Nous appellerons cette zone le point culminant A-1.
- Ainsi, pour un carré magique 10x10, Highlight A-1 serait composé des carrés 1 et 2 des rangées 1 et 2, constituant un carré 2x2 en haut à gauche du quadrant.
- Dans la rangée sous Surbrillance A-1, sautez les carrés de la première colonne, puis marquez les carrés au centre du quadrant. Nous appellerons cette rangée du milieu Highlight A-2.
- Le point culminant A-3 est un carré identique à A-1, mais dans le coin inférieur gauche du quadrant.
- Les points culminants A-1, A-2 et A-3 forment ensemble le point culminant A.
- Répétez ce processus dans le quadrant D, en créant des zones de surbrillance identiques appelées D Highlights.
Étape 7. Échangez les faits saillants A et D
C'est un échange après l'autre. Déplacez et alternez les cases entre le quadrant A et le quadrant D sans changer du tout l'ordre (voir figure). Lorsque vous avez fait cela, toutes les lignes, colonnes et diagonales du carré magique doivent correspondre à la constante magique que vous avez calculée.
Méthode 3 sur 3: Résolution de carrés magiques d'ordre pair multiple de quatre
Étape 1. Comprenez ce que signifie un carré magique d'un multiple pair de quatre
Un carré magique d'ordre pair qui n'est pas un multiple de quatre a un nombre de carrés de chaque côté qui sont divisibles par deux, mais non divisibles par quatre. Un carré magique d'ordre pair multiples de quatre a le nombre de carrés de chaque côté qui est divisible par quatre.
Le plus petit multiple d'ordre pair de quatre qui peut être fait est 4x4
Étape 2. Calculez la constante magique
Utilisez la même méthode qu'avec un carré magique d'ordre impair: la constante magique = [n * (n * n + 1)] / 2, où n = le nombre de carrés de chaque côté. Donc, dans l'exemple d'un carré magique 4x4:
- Somme = [4*(4*4+1)]/2
- Somme = [4 * (16 + 1)] / 2
- Quantité = (4 * 17) / 2
- Quantité = 68 / 2
- La constante magique pour un carré magique 4x4 est 68/2, soit 34.
- Toutes les lignes, colonnes et diagonales doivent correspondre à ce nombre.
Étape 3. Créez les surbrillances A à D
A chaque coin du carré magique, marquez un mini carré de longueur de côté n/4, où n = longueur de côté du carré magique. Étiquetez avec les reflets A, B, C et D dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
- Dans un carré 4x4, vous ne marquerez que les quatre coins du carré.
- Dans un carré 8x8, chaque Highlight sera une zone 2x2 dans son coin.
- Dans un carré de 12x12, chaque Highlight sera une zone de 3x3 dans son coin, et ainsi de suite.
Étape 4. Créez un point culminant central
Marquez tous les carrés au milieu du carré magique dans la zone carrée de longueur n/2, où n = longueur de côté du carré magique. Les reflets centraux ne doivent pas du tout atteindre les reflets A à D, mais seulement se croiser avec chacun d'eux dans le coin.
- Dans un carré 4x4, le point culminant du centre sera une zone 2x2 au centre.
- Dans un carré 8x8, le point culminant central sera la zone 4x4 au centre, et ainsi de suite.
Étape 5. Remplissez le carré magique, mais uniquement dans les zones en surbrillance
Commencez à remplir le numéro dans le carré magique de gauche à droite, mais entrez le numéro uniquement si le carré se trouve dans la zone Surbrillance. Ainsi, pour une grille 4x4, vous rempliriez les cases suivantes:
- Numéro 1 dans la case en haut à gauche et 4 dans la case en haut à droite.
- Numéros 6 et 7 dans les carrés du milieu de la deuxième rangée.
- Les nombres 10 et 11 sont dans les carrés du milieu de la troisième rangée.
- Le nombre est 13 dans la case en bas à gauche et 16 dans la case en bas à droite.
Étape 6. Remplissez les carrés restants du carré magique dans l'ordre inverse du comptage
Cette étape est essentiellement l'inverse de l'étape précédente. Recommencez dans la case en haut à gauche, mais cette fois, sautez tous les carrés de la zone en surbrillance et remplissez les carrés non surlignés dans l'ordre de comptage inverse. Commencez par le plus grand nombre de votre plage de nombres. Ainsi, pour un carré magique 4x4, vous rempliriez les cases suivantes:
- Les nombres 15 et 14 sont dans les carrés du milieu de la première rangée.
- Le nombre 12 dans la case la plus à gauche et 9 dans la case la plus à droite de la deuxième rangée.
- Numéros 8 dans le carré le plus à gauche et 5 dans le carré le plus à droite de la troisième rangée.
- Les numéros 3 et 2 dans les carrés du milieu de la quatrième rangée.
- À ce stade, toutes les colonnes, lignes et diagonales doivent correspondre à la constante magique que vous avez calculée.
