Le plus grand diviseur commun (PTS) de deux nombres entiers, également appelé le plus grand facteur commun (GCF), est le plus grand entier qui est le diviseur (facteur) des deux nombres. Par exemple, le plus grand nombre qui peut diviser à la fois 20 et 16 est 4. (Les deux 16 et 20 ont des facteurs plus grands, mais pas de facteur égal plus grand - par exemple, 8 est un facteur de 16, mais pas un facteur de 20.) Dans l'école primaire, la plupart des gens apprennent la méthode de conjecture et de vérification pour trouver le GCF. Cependant, il existe un moyen plus simple et plus systématique de le faire qui donne toujours la bonne réponse. Cette méthode est appelée algorithme d'Euclide. Si vous voulez vraiment savoir comment trouver le plus grand facteur commun de deux entiers, jetez un œil à l'étape 1 pour commencer.
Étape
Méthode 1 sur 2: Utilisation de l'algorithme du diviseur
Étape 1. Éliminez tous les signes négatifs
Étape 2. Connaissez votre vocabulaire:
quand vous divisez 32 par 5,
-
- 32 est un nombre qui est divisé par
- 5 est le diviseur de
- 6 est le quotient
- 2 est le reste (ou modulo).
Étape 3. Identifiez le nombre supérieur aux deux nombres
Le plus grand nombre sera le nombre qui est divisé, et le plus petit sera le diviseur.
Étape 4. Notez cet algorithme:
(nombre divisé) = (diviseur) * (citation) + (reste)
Étape 5. Mettez le plus grand nombre à la place du nombre à diviser et le plus petit comme diviseur
Étape 6. Déterminez quel est le résultat de la division du plus grand nombre par le plus petit et entrez le résultat sous forme de quotient
Étape 7. Calculez le reste et entrez-le à l'endroit approprié dans l'algorithme
Étape 8. Réécrivez l'algorithme, mais cette fois A) utilisez l'ancien diviseur comme diviseur et B) utilisez le reste comme diviseur
Étape 9. Répétez l'étape précédente jusqu'à ce que le reste soit égal à zéro
Étape 10. Le dernier diviseur est le même plus grand diviseur
Étape 11. Voici un exemple, où nous essayons de trouver le GCF de 108 et 30:
Étape 12. Remarquez comment les 30 et 18 de la première rangée changent de position pour créer la deuxième rangée
Ensuite, 18 et 12 positions de commutation pour créer la troisième rangée, et 12 et 6 positions de commutation pour créer la quatrième rangée. 3, 1, 1 et 2 suivant le signe de multiplication ne réapparaissent pas. Ce nombre représente le résultat de la division du nombre divisé par le diviseur, de sorte que chaque ligne est différente.
Méthode 2 sur 2: Utilisation de facteurs premiers
Étape 1. Éliminez tous les signes négatifs
Étape 2. Trouvez la factorisation première des nombres et écrivez la liste comme indiqué ci-dessous
-
En utilisant 24 et 18 comme exemples de nombres:
- 24- 2x2x2x3
- 18- 2x3x3
-
En utilisant 50 et 35 comme exemple de nombre:
- 50- 2x5x5
- 35- 5 x 7
Étape 3. Identifiez tous les facteurs premiers qui sont égaux
-
En utilisant 24 et 18 comme exemples de nombres:
-
24-
Étape 2. x 2 x 2
Étape 3.
-
18-
Étape 2
Étape 3. x 3
-
-
En utilisant 50 et 35 comme exemple de nombre:
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50- 2 x
Étape 5. x 5
-
35-
Étape 5. x 7
-
Étape 4. Multipliez les facteurs par le même
-
Aux questions 24 et 18, multipliez
Étape 2. da
Étape 3. obtenir
Étape 6.. Six est le plus grand facteur commun de 24 et 18.
-
Dans les exemples 50 et 35, aucun nombre ne peut être multiplié.
Étape 5. est le seul facteur en commun, et en tant que tel est le plus grand facteur.
Étape 5. Terminé
Des astuces
- Une façon d'écrire cela, en utilisant la notation mod = reste, est GCF(a, b) = b, si a mod b = 0, et GCF(a, b) = GCF(b, a mod b) sinon.
- Par exemple, trouvez le GCF (-77, 91). Premièrement, nous utilisons 77 au lieu de -77, donc GCF(-77, 91) devient GCF(77, 91). Maintenant, 77 est inférieur à 91, nous devrons donc les échanger, mais voyons comment l'algorithme contourne ces choses si nous ne pouvons pas. Quand on calcule 77 mod 91, on obtient 77 (car 77 = 91 x 0 + 77). Puisque le résultat n'est pas nul, on échange (a, b) en (b, a mod b), et le résultat est: GCF(77, 91) = GCF(91, 77). 91 mod 77 donne 14 (rappelez-vous, cela signifie que 14 est inutile). Puisque le reste n'est pas nul, convertissez GCF(91, 88) en GCF(77, 14). 77 mod 14 renvoie 7, qui n'est pas zéro, alors échangez GCF(77, 14) en GCF(14, 7). 14 mod 7 vaut zéro, donc 14 = 7 * 2 sans reste, donc on s'arrête. Et cela signifie: GCF(-77, 91) = 7.
- Cette technique est particulièrement utile pour simplifier des fractions. D'après l'exemple ci-dessus, la fraction -77/91 se simplifie en -11/13 car 7 est le plus grand diviseur égal de -77 et 91.
- Si 'a' et 'b' sont nuls, alors aucun nombre différent de zéro ne les divise, donc techniquement aucun plus grand diviseur n'est le même dans le problème. Les mathématiciens disent souvent que le plus grand diviseur commun de 0 et 0 est 0, et c'est la réponse qu'ils obtiennent de cette façon.
