Comment simplifier les équations mathématiques : 13 étapes

2024 Auteur: Jason Gerald | [email protected]. Dernière modifié: 2024-01-15 08:14

On demande souvent aux étudiants en mathématiques d'écrire leurs réponses dans leur forme la plus simple, c'est-à-dire d'écrire les réponses aussi élégamment que possible. Bien que longues, raides et courtes, ainsi qu'élégantes, les équations sont techniquement la même chose, souvent, un problème de mathématiques n'est pas considéré comme complet si la réponse finale n'est pas réduite à sa forme la plus simple. De plus, la réponse dans sa forme la plus simple est presque toujours l'équation la plus facile à utiliser. Pour cette raison, apprendre à simplifier les équations est une compétence importante pour les mathématiciens.

Étape

Méthode 1 sur 2: Utilisation de la séquence d'opérations

Étape 1. Connaître l'ordre des opérations

Lorsque vous simplifiez des expressions mathématiques, vous ne pouvez pas simplement travailler de gauche à droite, multiplier, additionner, soustraire, etc. dans l'ordre de gauche à droite. Certaines opérations mathématiques doivent primer sur d'autres et être effectuées en premier. En fait, utiliser le mauvais ordre d'opérations peut donner une mauvaise réponse. L'ordre des opérations est: la partie entre parenthèses, l'exposant, la multiplication, la division, l'addition et enfin la soustraction. Un acronyme dont vous pouvez vous souvenir est Parce que la mère n'est pas bonne, mauvaise et pauvre.

Notez que, bien qu'une connaissance de base de l'ordre des opérations puisse simplifier les équations les plus élémentaires, des techniques spéciales sont nécessaires pour simplifier de nombreuses équations variables, y compris presque tous les polynômes. Voir la deuxième méthode suivante pour plus d'informations

Étape 2. Commencez par remplir toutes les sections entre parenthèses

En mathématiques, les parenthèses indiquent que la partie intérieure doit être calculée séparément de l'expression qui se trouve à l'extérieur des parenthèses. Quelles que soient les opérations entre parenthèses, assurez-vous de terminer d'abord la partie entre parenthèses lorsque vous essayez de simplifier une équation. Par exemple, entre parenthèses, vous devez multiplier avant d'ajouter, de soustraire, etc.

• Par exemple, essayons de simplifier l'équation 2x + 4(5 + 2) + 3² - (3 + 4/2). Dans cette équation, nous devons d'abord résoudre la partie à l'intérieur des parenthèses, à savoir 5 + 2 et 3 + 4/2. 5 + 2 =

  Étape 7.. 3 + 4/2 = 3 + 2

  Étape 5

  La partie dans la deuxième parenthèse est simplifiée à 5 car selon l'ordre des opérations, on divise d'abord 4/2 dans les parenthèses. Si nous travaillons simplement de gauche à droite, nous ajoutons d'abord 3 et 4, puis divisons par 2, donnant la mauvaise réponse 7/2

• Remarque – s'il y a plusieurs parenthèses entre parenthèses, complétez la section dans le crochet le plus à l'intérieur, puis le deuxième le plus à l'intérieur, et ainsi de suite.

Étape 3. Résolvez l'exposant

Après avoir terminé les parenthèses, résolvez ensuite l'exposant de votre équation. C'est facile à retenir car dans les exposants, le nombre de base et la puissance à la puissance sont côte à côte. Trouvez la réponse à chaque partie de l'exposant, puis branchez votre réponse dans l'équation pour remplacer la partie de l'exposant.

Après avoir terminé la partie entre parenthèses, notre exemple d'équation devient maintenant 2x + 4(7) + 3² - 5. La seule exponentielle dans notre exemple est 3², qui est égal à 9. Ajoutez ce résultat à votre équation pour remplacer 3² résultant en 2x + 4(7) + 9 - 5.

Étape 4. Résolvez le problème de multiplication dans votre équation

Ensuite, faites la multiplication nécessaire dans votre équation. N'oubliez pas que la multiplication peut s'écrire de plusieurs manières. Le point × ou le symbole astérisque est un moyen de montrer la multiplication. Cependant, un nombre à côté des parenthèses ou une variable (telle que 4(x)) représente également une multiplication.

• Il y a deux parties à la multiplication dans notre problème: 2x (2x est 2 × x) et 4(7). Nous ne connaissons pas la valeur de x, nous la laissons donc à 2x. 4(7) = 4 × 7 =

  Étape 28.. Nous pouvons réécrire notre équation sous la forme 2x + 28 + 9 - 5.

Étape 5. Procédez à la division

Lorsque vous recherchez des problèmes de division dans vos équations, gardez à l'esprit que, comme la multiplication, la division peut être écrite de plusieurs manières. L'un d'eux est le symbole, mais gardez à l'esprit que les barres obliques et les tirets comme dans les fractions (par exemple 3/4) indiquent également une division.

Car nous avons déjà fait la division (4/2) lorsque nous avons terminé les parties entre parenthèses. Notre exemple n'a pas encore de problème de division, nous allons donc sauter cette étape. Cela montre un point important - vous n'avez pas à effectuer toutes les opérations lors de la simplification d'une expression, uniquement les opérations contenues dans votre problème

Étape 6. Ensuite, ajoutez tout ce qui se trouve dans votre équation

Vous pouvez travailler de gauche à droite, mais il est plus facile d'ajouter d'abord les nombres faciles à ajouter. Par exemple, dans le problème 49 + 29 + 51 + 71, il est plus facile d'ajouter 49 + 51 = 100, 29 + 71 = 100 et 100 + 100 = 200, que 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129, et 129 + 71 = 200.

Notre exemple d'équation a été partiellement simplifié à 2x + 28 + 9 – 5. Maintenant, nous devons additionner les nombres que nous pouvons additionner – examinons chaque problème d'addition de gauche à droite. Nous ne pouvons pas ajouter 2x et 28 car nous ne connaissons pas la valeur de x, nous allons donc l'ignorer. 28 + 9 = 37, peut être réécrit comme 2x + 37 - 5.

Étape 7. La dernière étape de la séquence d'opérations est la soustraction

Continuez votre problème en résolvant les problèmes de soustraction restants. Vous pouvez penser à la soustraction comme à l'ajout de nombres négatifs dans cette étape, ou à l'utilisation des mêmes étapes que pour un problème d'addition régulier - votre choix n'affectera pas votre réponse.

• Dans notre problème, 2x + 37 - 5, il n'y a qu'un seul problème de soustraction. 37 – 5 =

  Étape 32.

Étape 8. Vérifiez votre équation

Après avoir résolu en utilisant l'ordre des opérations, votre équation doit être simplifiée à sa forme la plus simple. Cependant, si votre équation contient une ou plusieurs variables, comprenez que vos variables n'ont pas besoin d'être travaillées. Pour simplifier une variable, vous devez soit trouver la valeur de votre variable, soit utiliser des techniques spéciales pour simplifier l'expression (voir l'étape ci-dessous).

Notre réponse finale est 2x + 32. Nous ne pouvons pas résoudre cette addition finale à moins de connaître la valeur de x, mais si nous connaissions sa valeur, cette équation serait beaucoup plus facile à résoudre que notre longue équation originale

Méthode 2 sur 2: Simplifier des équations complexes

Étape 1. Additionnez les parties qui ont la même variable

Lors de la résolution d'équations variables, n'oubliez pas que les parties qui ont la même variable et le même exposant (ou la même variable) peuvent être ajoutées et soustraites comme des nombres normaux. Cette partie doit avoir la même variable et le même exposant. Par exemple, 7x et 5x peuvent être ajoutés, mais 7x et 5x² ne peut pas être additionné.

• Cette règle s'applique également à certaines variables. Par exemple, 2xy² peut être additionné par -3xy², mais ne peut pas être additionné par -3x²a ou -3a².
• Voir l'équation x² + 3x + 6 - 8x. Dans cette équation, nous pouvons ajouter 3x et -8x car ils ont la même variable et le même exposant. L'équation simple devient x² - 5x + 6.

Étape 2. Simplifiez les nombres fractionnaires en divisant ou en rayant les facteurs

Les fractions qui n'ont que des nombres (et aucune variable) dans le numérateur et le dénominateur peuvent être simplifiées de plusieurs manières. La première, et peut-être la plus simple, consiste à considérer la fraction comme un problème de division et à diviser le dénominateur par le numérateur. De plus, tout facteur de multiplication qui apparaît dans le numérateur et le dénominateur peut être barré car la division des deux facteurs donne le nombre 1.

Par exemple, regardez la fraction 36/60. Si nous avons une calculatrice, nous pouvons la diviser pour obtenir la réponse 0, 6. Cependant, si nous n'avons pas de calculatrice, nous pouvons toujours la simplifier en rayant les mêmes facteurs. Une autre façon d'imaginer 36/60 est (6 × 6)/(6 × 10). Cette fraction peut s'écrire 6/6 × 6/10. 6/6 = 1, donc notre fraction est en fait 1 × 6/10 = 6/10. Cependant, nous n'avons pas encore terminé - 6 et 10 ont le même facteur, qui est 2. En répétant la méthode ci-dessus, le résultat devient 3/5.

Étape 3. Sur la fraction variable, rayez tous les facteurs de la variable

Les équations variables sous forme de fraction ont une manière unique de simplifier. Comme les fractions ordinaires, les fractions variables vous permettent d'éliminer les facteurs que le numérateur et le dénominateur ont en commun. Cependant, dans les fractions variables, ces facteurs peuvent être des nombres et des équations de la variable réelle.

• Disons que l'équation (3x² + 3x)/(-3x² + 15x) Cette fraction peut être écrite sous la forme (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x), 3x apparaît à la fois au numérateur et au dénominateur. En rayant ces facteurs de l'équation, le résultat devient (x + 1)/(5 - x). Identique à l'expression (2x² + 4x + 6)/2, puisque chaque partie est divisible par 2, on peut écrire l'équation sous la forme (2(x² + 2x + 3))/2 puis simplifier en x² + 2x + 3.
• Notez que vous ne pouvez pas rayer toutes les sections – vous ne pouvez rayer que les facteurs de multiplication qui apparaissent au numérateur et au dénominateur. Par exemple, dans l'expression (x(x + 2))/x, x peut être barré à la fois du numérateur et du dénominateur, de sorte qu'il devient (x + 2)/1 = (x + 2). Cependant, (x + 2)/x ne peut pas être barré à 2/1 = 2.

Étape 4. Multipliez la partie entre parenthèses par la constante

Lors de la multiplication de la partie qui a la variable entre parenthèses par une constante, parfois la multiplication de chaque partie entre parenthèses par une constante peut aboutir à une équation plus simple. Cela s'applique aux constantes qui se composent uniquement de nombres et de constantes qui ont des variables.

• Par exemple, l'équation 3(x² + 8) peut être simplifié à 3x² + 24, alors que 3x(x² + 8) peut être simplifié à 3x³ + 24x.
• Notez que, dans certains cas, tels que les fractions variables, les constantes autour des parenthèses peuvent être barrées afin qu'elles n'aient pas besoin d'être multipliées par la partie entre parenthèses. En fractions (3(x² + 8))/3x, par exemple, le facteur 3 apparaît à la fois au numérateur et au dénominateur, nous pouvons donc le rayer et simplifier l'expression en (x² + 8)/x. Cette expression est plus simple et plus facile à utiliser que (3x³ + 24x)/3x, qui est le résultat que nous obtiendrons si nous le multiplions.

Étape 5. Simplifiez en factorisant

La factorisation est une technique qui peut être utilisée pour simplifier certaines expressions de variables, y compris les polynômes. Considérez la factorisation comme le contraire de la multiplication par la partie entre parenthèses à l'étape ci-dessus - parfois, une expression peut être considérée comme deux parties multipliées l'une par l'autre, plutôt que comme une expression unitaire. Cela est particulièrement vrai si la factorisation d'une équation vous permet de rayer une de ses parties (comme dans les fractions). Dans certains cas (souvent avec des équations quadratiques), la factorisation peut même vous permettre de trouver la solution de l'équation.

• Supposons à nouveau l'expression x² - 5x + 6. Cette expression peut être factorisée en (x - 3)(x - 2). Donc, si x² - 5x + 6 est le numérateur d'une équation donnée où le dénominateur a un de ces facteurs, comme dans l'expression (x² - 5x + 6)/(2(x - 2)), nous pourrions vouloir l'écrire sous forme de facteur afin de pouvoir rayer le facteur avec le dénominateur. En d'autres termes, dans (x - 3)(x - 2)/(2(x - 2)), la partie (x - 2) peut être barrée pour être (x - 3)/2.

• Comme indiqué ci-dessus, une autre raison pour laquelle vous voudrez peut-être factoriser vos équations est que la factorisation peut vous donner des réponses à certaines équations, surtout si elles sont écrites égales à 0. Par exemple, l'équation x² - 5x + 6 = 0. La factorisation donne (x - 3)(x - 2) = 0. Puisque tout nombre multiplié par zéro est égal à zéro, nous savons que si une partie des parenthèses est égale à zéro, toute l'équation à gauche de le signe égal, est également zéro. Pour que

  Étape 3. da

  Étape 2. sont les deux réponses à l'équation.