La division binaire peut être résolue en utilisant la méthode de la division longue, une méthode qui peut vous apprendre vous-même le processus de division ainsi que pour créer des programmes informatiques simples. De plus, des méthodes complémentaires de soustraction itérative peuvent fournir des approches que vous ne connaissez peut-être pas, même si elles ne sont pas couramment utilisées pour la programmation. Les langages machine utilisent généralement des algorithmes d'approximation pour être plus efficaces, mais cela n'est pas décrit dans cet article.
Étape
Méthode 1 sur 2: Utilisation de la division longue
Étape 1. Réapprendre la division décimale longue
Si vous n'avez pas utilisé la division longue dans le système de nombres décimaux réguliers (base dix) depuis longtemps, revoyez les bases en utilisant l'exemple de problème 172 divisé par 4. Sinon, ignorez cette étape et passez directement à l'étape suivante pour explorer un processus similaire avec des nombres binaires.
- Numérateur divisé par dénominateur, et le résultat est quotient.
- Comparez le dénominateur avec le premier nombre du numérateur. Si le dénominateur est plus grand, continuez d'ajouter des nombres au numérateur jusqu'à ce que le dénominateur soit plus petit. (Par exemple, si nous calculons 172 divisé par 4, nous comparons 4 avec 1, nous savons que 4 est supérieur à 1, alors procédez à la comparaison de 4 avec 17.)
- Écrivez le premier chiffre du quotient au-dessus du dernier numérateur utilisé dans la comparaison. Lorsque nous comparons 4 avec 17, nous voyons que 4 est couvert par 17 quatre fois, nous écrivons donc 4 comme premier nombre du quotient, au-dessus de 7.
- Multipliez et soustrayez pour obtenir le reste. Multipliez le quotient par le dénominateur, ce qui signifie 4 × 4 = 16. Écrivez 16 sous 17, puis soustrayez 17 par 16 pour obtenir le reste, qui est 1.
- Répétez le processus. Nous comparons à nouveau le dénominateur, qui est 4, avec le nombre suivant, qui est 1, notons que 4 est supérieur à 1, puis "soustrayons" le nombre suivant du numérateur, nous continuons en comparant 4 avec 12. Nous voyons que 4 est couvert par 12 trois fois aucun reste, nous écrivons donc 3 comme prochain nombre du quotient. La réponse est 43.
Étape 2. Préparez un problème de division longue en binaire
Prenons 10101 11. Écrivez comme un problème pour la division longue, en utilisant 10101 comme numérateur et 11 comme dénominateur. Laissez un espace au-dessus pour écrire le quotient et en dessous pour écrire les calculs.
Étape 3. Comparez le dénominateur avec le premier chiffre du numérateur
Cela fonctionne de la même manière que la division longue en décimal, mais c'est en fait beaucoup plus facile dans le système de nombres binaires. En binaire, il n'y a que deux options, soit vous ne pouvez pas diviser le nombre par le dénominateur (ce qui signifie 0) ou le dénominateur n'est inclus qu'une seule fois (ce qui signifie 1):
11 > 1, donc 11 n'est pas "couvert par" 1. Écrivez le nombre 0 comme premier nombre du quotient (au-dessus du premier chiffre du numérateur)
Étape 4. Travaillez sur le numéro suivant et répétez jusqu'à ce que vous obteniez le numéro 1
Voici les prochaines étapes de notre exemple:
- Déduire le nombre suivant du numérateur. 11 > 10. Écrivez 0 dans le quotient.
- Abaissez le nombre suivant. 11 < 101. Écris le nombre 1 dans le quotient.
Étape 5. Trouvez le reste de la division
Comme pour les longues divisions décimales, multipliez le nombre que nous venons d'obtenir (1) par le dénominateur (11), puis écrivez le résultat sous le numérateur parallèlement au nombre que nous venons de calculer. Dans le système de nombres binaires, nous pouvons résumer ce processus, car 1 x le dénominateur est toujours le même que le dénominateur:
- Écris le dénominateur sous le numérateur. Ici, écrivez 11 parallèlement aux trois premiers chiffres du numérateur (101).
- Comptez 101 - 11 pour obtenir le reste de la division, qui est 10. Voyez comment soustraire des nombres binaires si vous devez réapprendre.
Étape 6. Répétez jusqu'à ce que le problème soit résolu
Diminuez le nombre suivant du dénominateur au reste de la division pour obtenir 100. Puisque 11 < 100, écrivez 1 comme nombre suivant dans la division. Continuez le calcul comme précédemment:
- Écrivez 11 sous 100 puis soustrayez pour obtenir 1.
- Abaissez le dernier chiffre du numérateur à 11.
- 11 = 11, alors écrivez 1 comme dernier chiffre du quotient (réponse).
- Comme il n'y a pas de reste, le calcul est terminé. La réponse est 00111, ou 111 seulement.
Étape 7. Ajoutez des points de base si nécessaire
Parfois, le résultat d'un calcul n'est pas un nombre entier. S'il vous reste encore une division après avoir utilisé le dernier chiffre, ajoutez ".0" au numérateur et "." au quotient, vous pouvez donc toujours dériver un nombre supplémentaire et continuer le calcul. Répétez jusqu'à atteindre la précision souhaitée, puis arrondissez le résultat. Sur le papier, vous pouvez arrondir à l'inférieur en supprimant le dernier 0, ou si le dernier est un 1, jetez-le et ajoutez le dernier nombre le plus récent à 1. En programmation, suivez l'un des nombreux algorithmes d'arrondi standard pour éviter les erreurs lors de la conversion des nombres binaires. décimal et vice versa.
- La division binaire entraîne souvent des parties fractionnaires répétées, plus souvent que le même processus dans le système décimal.
- Ceci est plus communément appelé le "point de base", qui s'applique à n'importe quelle base, car le terme "point décimal" s'applique uniquement dans le système décimal.
Méthode 2 sur 2: Utilisation de la méthode complémentaire
Étape 1. Comprendre le concept de base
Une façon de résoudre le problème de division - sur n'importe quelle base - est de continuer à soustraire le dénominateur du numérateur, puis le reste, en comptant combien de fois ce processus peut être répété avant d'obtenir un nombre négatif. L'exemple suivant est un calcul en base dix, en calculant 26 7:
- 26 - 7 = 19 (soustrait 1 fois)
- 19 - 7 = 12 (2)
- 12 - 7 = 5 (3)
- 5 - 7 = -2. Chiffres négatifs, alors prenez du recul. Le résultat est 3 et le reste est divisé par 5. Notez que cette méthode ne calcule pas la partie fractionnaire de la réponse.
Étape 2. Apprenez à soustraire avec des compléments
Bien que vous puissiez facilement utiliser la méthode ci-dessus dans un système binaire, nous pouvons également réduire l'utilisation d'une méthode plus efficace, ce qui permet de gagner du temps lors de la programmation de l'ordinateur pour effectuer une division binaire. C'est la soustraction avec la méthode du complément en binaire. Voici les bases, en calculant 111 - 011 (assurez-vous que les deux nombres ont la même longueur):
- Trouvez le complément à un du deuxième nombre, en soustrayant chaque chiffre de 1. Cette étape est facile à faire dans le système binaire en changeant chaque 1 à 0 et chaque 0 à 1. Dans cet exemple, 011 à 100.
- Ajoutez 1 au résultat du calcul: 100 + 1 = 101. Ce nombre est appelé complément à deux, donc la soustraction peut être résolue comme une addition. Essentiellement, le résultat de ce calcul est comme si nous ajoutions des nombres négatifs et ne soustrayions pas des nombres positifs, une fois ce processus terminé.
- Ajoutez le résultat au premier nombre. Écrivez et résolvez le problème d'addition: 111 + 101 = 1100.
- Supprimez plus de numéros. Supprimez le premier nombre du résultat du calcul pour obtenir le résultat final. 1100 → 100.
Étape 3. Combinez les deux concepts décrits ci-dessus
Vous connaissez maintenant la méthode de soustraction pour résoudre les problèmes de division, ainsi que la méthode du complément à deux pour résoudre les problèmes de soustraction. En utilisant les étapes ci-dessous, vous pouvez combiner les deux en une seule méthode pour résoudre le problème de division. Si vous le souhaitez, essayez de le résoudre vous-même avant de continuer.
Étape 4. Soustrayez le dénominateur du numérateur en ajoutant le complément à deux
Travaillons sur le problème 100011 000101. La première étape consiste à résoudre 100011 - 000101, en utilisant la méthode du complément à deux pour transformer ce calcul en somme:
- Complément à deux de 000101 = 111010 + 1 = 111011
- 100011 + 111011 = 1011110
- Supprimer les numéros en excès → 011110
Étape 5. Ajoutez 1 au résultat de la division
Dans un programme informatique, c'est là que vous ajoutez 1 au quotient. Sur papier, prenez des notes dans les coins pour qu'elles ne se mélangent pas avec d'autres travaux. Nous avons réussi à soustraire une fois, donc le résultat de la division jusqu'à présent est 1.
Étape 6. Répétez le processus en soustrayant le dénominateur du reste du calcul
Le résultat de notre dernier calcul est le reste de la division après que le dénominateur soit "couvert" une fois. Continuez à ajouter le complément à deux du dénominateur à chaque répétition et à supprimer les chiffres supplémentaires. Ajoutez 1 au quotient à chaque itération, en répétant jusqu'à ce que vous obteniez le reste du calcul égal ou inférieur au dénominateur:
- 011110 + 111011 = 1011001 → 011001 (quotient 1+1=10)
- 0110001 + 111011 = 1010100 → 010100 (quotient 10+1=11)
- 010100 + 111011 = 1001111 → 001111 (11+1=100)
- 001111 + 111011 = 1001010 → 001010 (100+1=101)
- 001010 + 111011 = 10000101 → 0000101 (101+1=110)
- 0000101 + 111011 = 1000000 → 000000 (110+1=111)
- 0 est inférieur à 101, nous nous arrêtons donc ici. La réponse à ce processus de division est 111. Alors que le reste de la division est le résultat final du processus de soustraction, dans ce cas 0 (pas de reste).
Des astuces
- Les instructions pour augmenter (ajouter 1), abaisser (soustraire 1) ou retirer de la pile (pile pop) doivent être prises en compte avant d'appliquer les mathématiques binaires dans un jeu d'instructions machine.
- La méthode du complément à deux pour la soustraction ne fonctionnera pas si les nombres ont un nombre différent de chiffres. Pour résoudre ce problème, ajoutez un zéro au début du nombre pour un nombre plus petit.
- Ignorez les nombres négatifs dans les nombres binaires négatifs avant de calculer, sauf pour déterminer si la réponse est positive ou négative.
