Le déterminant des matrices est souvent utilisé en calcul, en algèbre linéaire et en géométrie à un niveau supérieur. En dehors du milieu universitaire, les informaticiens et les programmeurs utilisent des matrices et leurs déterminants tout le temps. Si vous savez déjà déterminer le déterminant d'une matrice de l'ordre de 2x2, il vous suffit d'apprendre quand utiliser l'addition, la soustraction et les temps pour déterminer le déterminant d'une matrice d'ordre 3x3.
Étape
Partie 1 sur 2: Détermination des déterminants
Écrivez votre matrice d'ordre 3 x 3. Nous allons partir d'une matrice A d'ordre 3x3 et essayer de trouver le déterminant |A|. Vous trouverez ci-dessous la forme générale de notation matricielle que nous utiliserons et un exemple de notre matrice:
| une11 | une12 | une13 | 1 | 5 | 3 | |||
| M | = | une21 | une22 | une23 | = | 2 | 4 | 7 |
| une31 | une32 | une33 | 4 | 6 | 2 |
Étape 1. Sélectionnez une ligne ou une colonne
Faites de votre sélection la ligne ou la colonne de référence. Quel que soit votre choix, vous obtiendrez toujours la même réponse. Sélectionnez temporairement la première ligne. Nous vous donnerons quelques suggestions pour choisir l'option la plus facile à calculer dans la section suivante.
Sélectionnez la première ligne de l'exemple de matrice A. Encerclez le nombre 1 5 3. En notation courante, encerclez a11 une12 une13.
Étape 2. Rayez la ligne et la colonne de votre premier élément
Regardez la ligne ou la colonne que vous avez encerclée et sélectionnez le premier élément. Barrez les lignes et les colonnes. Il ne restera que 4 numéros intacts. Faites de ces 4 nombres une matrice d'ordre 2 x 2.
- Dans notre exemple, notre ligne de référence est 1 5 3. Le premier élément se trouve dans la 1ère ligne et la 1ère colonne. Rayez toute la 1ère ligne et la 1ère colonne. Écrivez les éléments restants dans une matrice 2 x 2:
- 1 5 3
- 2 4 7
- 4 6 2
Étape 3. Déterminer le déterminant de la matrice d'ordre 2 x 2
Rappelez-vous, déterminez le déterminant de la matrice [unec bré] par annonce - avant JC. Vous avez peut-être aussi appris à déterminer le déterminant d'une matrice en traçant un X entre une matrice 2 x 2. Multipliez les deux nombres reliés par la ligne / de X. Ensuite, soustrayez le nombre de fois les deux nombres reliés par la ligne / sommes. Utilisez cette formule pour calculer le déterminant d'une matrice 2 x 2.
- Dans l'exemple, le déterminant de la matrice [46 72] = 4*2 - 7*6 = - 34.
- Ce déterminant est appelé mineur des éléments que vous avez sélectionnés dans la matrice initiale. Dans ce cas, nous venons de trouver la mineure d'un11.
Étape 4. Multipliez le nombre trouvé par l'élément que vous avez sélectionné
N'oubliez pas que vous avez sélectionné des éléments de la ligne (ou colonne) de référence lorsque vous avez décidé quelles lignes et colonnes supprimer. Multipliez cet élément par le déterminant de la matrice 2 x 2 que vous avez trouvée.
Dans l'exemple, nous choisissons un11 qui est 1. Multipliez ce nombre par -34 (le déterminant de la matrice 2 x 2) pour obtenir 1*-34 = - 34.
Étape 5. Déterminez le symbole de votre réponse
L'étape suivante consiste à multiplier votre réponse par 1 ou -1 pour obtenir cofacteur de l'élément que vous avez sélectionné. Le symbole que vous utilisez dépend de l'emplacement des éléments dans la matrice 3 x 3. N'oubliez pas que cette table de symboles est utilisée pour déterminer le multiplicateur de votre élément:
- + - +
- - + -
- + - +
- Parce que nous choisissons un11 qui est marqué d'un +, nous multiplierons le nombre par +1 (ou en d'autres termes, ne le changez pas). La réponse qui apparaît sera la même, à savoir - 34.
- Une autre façon de définir un symbole est d'utiliser la formule (-1) i+j où i et j sont des éléments de ligne et de colonne.
Étape 6. Répétez ce processus pour le deuxième élément de votre ligne ou colonne de référence
Revenez à la matrice 3 x 3 d'origine dans laquelle vous avez encerclé la ligne ou la colonne plus tôt. Répétez le même processus avec l'élément:
-
Barrez la ligne et la colonne de l'élément.
Dans ce cas, sélectionnez l'élément a12 (qui en vaut 5). Rayez la 1ère ligne (1 5 3) et la 2ème colonne (5 4 6).
-
Transformez les éléments restants en une matrice 2x2.
Dans notre exemple, la matrice d'ordre 2x2 pour le deuxième élément est [24 72].
-
Déterminer le déterminant de cette matrice 2x2.
Utilisez la formule ad - bc. (2*2 - 7*4 = -24)
-
Multipliez par les éléments de votre matrice 3x3 choisie.
-24 * 5 = -120
-
Décidez s'il faut multiplier le résultat ci-dessus par -1 ou non.
Utiliser un tableau de symboles ou de formules (-1)je. Sélectionnez l'élément a12 symbolisé – dans la table des symboles. Remplacez notre symbole de réponse par: (-1)*(-120) = 120.
Étape 7. Répétez le même processus pour le troisième élément
Vous avez un cofacteur de plus pour déterminer le déterminant. Comptez i pour le troisième élément de votre ligne ou colonne de référence. Voici un moyen rapide de calculer le cofacteur a13 dans notre exemple:
- Rayez la 1ère ligne et la 3ème colonne pour obtenir [24 46].
- Le déterminant est 2*6 - 4*4 = -4.
- Multiplier par l'élément a13: -4 * 3 = -12.
- Élément a13 symbole + dans la table des symboles, la réponse est donc - 12.
Étape 8. Additionnez les résultats de vos trois comptes
C'est la dernière étape. Vous avez calculé trois cofacteurs, un pour chaque élément d'une ligne ou d'une colonne. Additionnez ces résultats et vous trouverez le déterminant d'une matrice 3 x 3.
Dans l'exemple, le déterminant de la matrice est - 34 + 120 + - 12 = 74.
Partie 2 sur 2: Faciliter la résolution de problèmes
Étape 1. Sélectionnez la ligne ou la colonne de références qui ont le plus de 0
N'oubliez pas que vous pouvez sélectionner la ligne ou la colonne de votre choix. Quel que soit votre choix, la réponse sera la même. Si vous sélectionnez une ligne ou une colonne avec le numéro 0, il vous suffit de calculer le cofacteur avec des éléments différents de 0 car:
- Par exemple, sélectionnez la 2ème ligne qui a l'élément a21, une22, fonds23. Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser 3 matrices 2 x 2 différentes, disons A21, UNE22, Tu23.
- Le déterminant de la matrice 3x3 est un21|A21| - une22|A22| + un23|A23|.
- Si un22 fonds23 valeur 0, la formule existante sera une21|A21| - 0*|A22| + 0*|A23| = un21|A21| - 0 + 0 = un21|A21|. Par conséquent, nous ne calculerons que le cofacteur d'un seul élément.
Étape 2. Utilisez des lignes supplémentaires pour faciliter les problèmes de matrice
Si vous prenez les valeurs d'une ligne et que vous les ajoutez à une autre ligne, le déterminant de la matrice ne changera pas. Il en est de même pour les colonnes. Vous pouvez le faire à plusieurs reprises ou multiplier par une constante avant de l'ajouter pour obtenir autant de 0 dans la matrice que possible. Cela peut faire gagner beaucoup de temps.
- Par exemple, vous avez une matrice à 3 lignes: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]
- Pour éliminer le chiffre 9 qui est en position a11, vous pouvez multiplier la valeur de la 2e ligne par -3 et ajouter le résultat à la première ligne. Maintenant, la nouvelle première ligne est [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
- La nouvelle matrice a des lignes [0 -4 2] [3 1 0] [7 5 -2]. Utilisez la même astuce sur les colonnes pour faire un12 être le nombre 0.
Étape 3. Utilisez la méthode rapide pour les matrices triangulaires
Dans ce cas particulier, le déterminant est le produit des éléments de la diagonale principale, d'un11 en haut à gauche à un33 en bas à droite de la matrice. Cette matrice est toujours une matrice 3x3, mais la matrice "triangle" a un motif spécial de nombres qui ne sont pas 0:
- Matrice triangulaire supérieure: Tous les éléments qui ne sont pas à 0 sont sur ou au-dessus de la diagonale principale. Tous les nombres sous la diagonale principale sont 0.
- Matrice triangulaire inférieure: tous les éléments qui ne sont pas à 0 sont sur ou en dessous de la diagonale principale.
- Matrice diagonale: tous les éléments qui ne sont pas à 0 sont sur la diagonale principale (le sous-ensemble des types de matrices ci-dessus).
Des astuces
- Si tous les éléments d'une ligne ou d'une colonne sont 0, le déterminant de la matrice est 0.
- Cette méthode peut être utilisée pour toutes les tailles de matrices quadratiques. Par exemple, si vous utilisez cette méthode pour une matrice d'ordre 4x4, votre "grève" laissera une matrice d'ordre 3x3 dont le déterminant peut être déterminé en suivant les étapes ci-dessus. N'oubliez pas que faire cela peut être ennuyeux !
