La distance, souvent donnée par la variable « s », est une mesure de l'espace qui est une ligne droite entre deux points. La distance peut faire référence à l'espace entre deux points immobiles (par exemple, la taille d'une personne est la distance entre la plante des pieds et le sommet de la tête) ou elle peut faire référence à l'espace entre la position actuelle d'un objet en mouvement et l'emplacement initial où l'objet a commencé à se déplacer. La plupart des problèmes de distance peuvent être résolus par l'équation s = v × t, où s est la distance, v est la vitesse moyenne et t est le temps, ou en utilisant s = ((x2 - X1)2 + (oui2 - oui1)2), où (x1, oui1) et (x2, oui2) sont les coordonnées x et y des deux points.
Étape
Méthode 1 sur 2: Calcul de la distance avec la vitesse et le temps moyens
Étape 1. Trouvez les valeurs moyennes de vitesse et de temps
Lorsque vous essayez de calculer la distance parcourue par un objet en mouvement, deux informations sont importantes pour ce calcul: la vitesse (ou vitesse) et temps que l'objet en mouvement a voyagé. Avec cette information, il est possible de calculer la distance parcourue par l'objet en utilisant la formule s = v × t.
Pour mieux comprendre le processus d'utilisation de la formule de distance, résolvons un exemple de problème dans cette section. Disons que nous parcourons une route à 120 milles à l'heure (environ 193 km à l'heure) et que nous voulons savoir quelle distance nous aurons parcourue en une demi-heure. Utilisation 120 miles par heure comme la valeur de la vitesse moyenne et 0,5 heure comme valeur du temps, nous allons résoudre ce problème à l'étape suivante.
Étape 2. Multipliez la vitesse moyenne par le temps
Après avoir connu la vitesse moyenne d'un objet en mouvement et le temps qu'il a parcouru, le calcul de la distance parcourue est relativement facile. Il suffit de multiplier les deux valeurs pour trouver la réponse.
- Cependant, notez que si l'unité de temps utilisée dans la valeur de vitesse moyenne est différente de celle utilisée dans la valeur de temps, vous devrez en changer une pour qu'elle corresponde. Par exemple, si nous avions une valeur de vitesse moyenne mesurée en km par heure et une valeur de temps mesurée en minutes, vous auriez besoin de diviser la valeur de temps par 60 pour la convertir en heures.
- Finissons notre exemple de problème. 120 milles/heure × 0,5 heure = 60 milles. Notez que les unités de la valeur de temps (heures) omettent le dénominateur de la vitesse moyenne (heures) ne laissant que les unités de distance (miles).
Étape 3. Modifiez l'équation pour calculer une autre variable
La simplicité de l'équation de distance de base (s = v × t) facilite l'utilisation de l'équation pour trouver la valeur d'une variable autre que la distance. Isolez simplement la variable que vous souhaitez rechercher selon les règles de base de l'algèbre, puis entrez les valeurs des deux autres variables pour trouver la valeur de la troisième variable. En d'autres termes, pour calculer la vitesse moyenne de l'objet, utilisez l'équation v = s/t et pour calculer le temps écoulé par l'objet, utilisez l'équation t = s/v.
- Par exemple, disons que nous savons qu'une voiture a parcouru 60 miles en 50 minutes, mais nous n'avons pas de valeur pour la vitesse moyenne lorsque l'objet se déplace. Dans ce cas, nous pouvons isoler la variable v dans l'équation de distance de base pour obtenir v = d/t, puis diviser simplement 60 miles / 50 minutes pour obtenir la réponse 1,2 miles/minute.
- Notez que dans l'exemple, la réponse pour la vitesse a une unité inhabituelle (miles/minute). Pour obtenir une réponse dans les miles/heure les plus courants, multipliez par 60 minutes/heure pour obtenir le résultat 72 milles/heure.
Étape 4. Notez que la variable « v » dans la formule de distance fait référence à la vitesse moyenne
Il est important de comprendre que la formule de distance de base offre une vue simplifiée du mouvement d'un objet. La formule de distance suppose qu'un objet en mouvement a une vitesse constante - en d'autres termes, elle suppose qu'un objet en mouvement a une vitesse unique et immuable. Pour les problèmes mathématiques abstraits, tels que ceux que vous pouvez rencontrer dans un cadre universitaire, il est parfois encore possible de modéliser le mouvement d'un objet en utilisant cette hypothèse. Cependant, dans la vraie vie, ces exemples ne reflètent souvent pas avec précision le mouvement des objets en mouvement, qui peuvent en fait accélérer, ralentir, s'arrêter et s'inverser au fil du temps.
- Par exemple, dans l'exemple de problème ci-dessus, nous avons conclu que pour parcourir 60 miles en 50 minutes, nous aurions besoin de voyager à 72 miles par heure. Cependant, cela n'est vrai que si vous voyagez à une vitesse pendant tout le trajet. Par exemple, en voyageant à 80 milles/heure pour la moitié du trajet et à 64 milles/heure pour la moitié restante, nous couvrirons toujours 60 milles en 50 minutes - 72 milles/heure = 60 milles/50 minutes = ?????
- Les solutions basées sur le calcul qui utilisent des dérivées sont souvent un meilleur choix que les formules de distance pour définir la vitesse d'un objet dans des situations réelles, car des changements de vitesse sont possibles.
Méthode 2 sur 2: Calcul de la distance entre deux points
Étape 1. Trouvez les deux coordonnées spatiales des deux points
Et si, au lieu de calculer la distance parcourue par un objet en mouvement, vous deviez calculer la distance entre deux objets immobiles ? Dans un tel cas, la formule de distance basée sur la vitesse décrite ci-dessus ne fonctionnera pas. Heureusement, différentes formules de distance peuvent être utilisées pour calculer facilement la distance en ligne droite entre deux points. Cependant, pour utiliser cette formule, vous aurez besoin de connaître les coordonnées des deux points. Si vous manipulez des distances unidimensionnelles (comme sur une droite numérique), les coordonnées seront constituées de deux nombres, x1 et x2. Si vous manipulez des distances en deux dimensions, vous aurez besoin de deux valeurs (x, y), (x1, oui1) et (x2, oui2). Enfin, pour trois dimensions, vous aurez besoin de la valeur (x1, oui1, z1) et (x2, oui2, z2).
Étape 2. Calculez la distance unidimensionnelle en soustrayant les valeurs de coordonnées de deux points
Il est facile de calculer la distance unidimensionnelle entre deux points lorsque vous connaissez déjà la valeur de chaque point. Utilisez simplement la formule s = |x2 - X1|. Dans cette formule, vous soustrayez x1 de x2, puis prenez la valeur absolue de votre réponse pour trouver la distance entre x1 et x2. En règle générale, vous souhaiterez utiliser la formule de distance unidimensionnelle lorsque les deux points se trouvent sur une ligne ou un axe numérique.
- Notez que cette formule utilise des valeurs absolues (symbole " | |"). La valeur absolue signifie uniquement que la valeur à l'intérieur du symbole devient positive si elle est négative.
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Par exemple, disons que nous nous arrêtons au bord de la route sur une autoroute parfaitement droite. S'il y a une ville à 5 miles devant nous et une autre ville à 1 mile derrière nous, à quelle distance se trouvent les deux villes ? Si nous définissons la ville 1 comme x1 = 5 et ville 2 comme x1 = -1, on peut calculer s, la distance entre les deux villes, de la manière suivante:
- s = |x2 - X1|
- = |-1 - 5|
- = |-6| = 6 milles.
Étape 3. Calculez la distance bidimensionnelle à l'aide du théorème de Pythagore
Le calcul de la distance entre deux points dans l'espace à deux dimensions est plus compliqué qu'à une dimension, mais pas difficile. Utilisez simplement la formule s = ((x2 - X1)2 + (oui2 - oui1)2). Dans cette formule, soustrayez les deux coordonnées x, calculez la racine carrée, soustrayez les deux coordonnées y, calculez la racine carrée, puis additionnez les deux résultats et calculez la racine carrée pour trouver la distance entre les deux points. Cette formule s'applique à un plan à deux dimensions - par exemple, sur un graphique x/y régulier.
- La formule de distance à deux dimensions utilise le théorème de Pythagore, qui stipule que la longueur de l'hypoténuse du triangle de droite est égale à la racine carrée du carré des deux autres côtés.
- Par exemple, disons que nous avons deux points dans le plan x-y: (3, -10) et (11, 7), qui représentent respectivement le centre d'un cercle et un point sur le cercle. Pour trouver la distance en ligne droite entre deux points, nous pouvons la calculer de la manière suivante:
- s = ((x2 - X1)2 + (oui2 - oui1)2)
- s = ((11 - 3)2 + (7 - -10)2)
- s = (64 + 289)
- s = (353) = 18, 79
Étape 4. Calculez la distance tridimensionnelle en modifiant la formule de distance bidimensionnelle
En trois dimensions, les points ont des coordonnées z en plus des coordonnées x et y. Pour calculer la distance entre deux points dans un espace tridimensionnel, utilisez s = ((x2 - X1)2 + (oui2 - oui1)2 + (z2 - z1)2). Il s'agit d'une forme modifiée de la formule de distance bidimensionnelle décrite ci-dessus qui inclut la coordonnée z. Soustraire les deux coordonnées z, calculer la racine carrée et continuer avec le reste de la formule garantit que votre réponse finale représentera la distance tridimensionnelle entre les deux points.
- Par exemple, disons que nous sommes des astronautes flottant dans l'espace entre deux astéroïdes. Un astéroïde est à environ 8 km en avant, 2 km à droite et 5 km en dessous de nous, tandis que l'autre est à environ 3 km en arrière, 3 km à gauche et 4 km au-dessus de nous. Si nous représentons les positions des deux astéroïdes avec les coordonnées (8, 2, -5) et (-3, -3, 4), nous pouvons calculer la distance entre eux de la manière suivante:
- s = ((-3 - 8)2 + (-3 - 2)2 + (4 - -5)2)
- s = ((-11)2 + (-5)2 + (9)2)
- s = (121 + 25 + 81)
- s = (227) = 15, 07 km
