Tous les triangles rectangles ont un angle droit (90 degrés) et l'hypoténuse est le côté opposé à cet angle. L'hypoténuse est le côté le plus long du triangle, et il est également très facile de le trouver de différentes manières. Cet article vous apprendra comment trouver la longueur de l'hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore si vous connaissez les longueurs des deux autres côtés du triangle. Ensuite, cet article vous apprendra à identifier l'hypoténuse de certains triangles rectangles spéciaux qui apparaissent fréquemment dans les examens. Enfin, cet article vous apprendra comment trouver la longueur de l'hypoténuse à l'aide de la loi des sinus si vous ne connaissez que la longueur d'un côté et la mesure d'un angle autre qu'un angle droit.
Étape
Méthode 1 sur 3: Utilisation du théorème de Pythagore
Étape 1. Apprenez le théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore décrit la relation entre les côtés d'un triangle rectangle. Ce théorème énonce que pour tout triangle rectangle avec des côtés le long de a et b, et une hypoténuse le long de c, une2 + b2 = c2.
Étape 2. Assurez-vous que votre triangle est un triangle rectangle
Le théorème de Pythagore ne s'applique qu'aux triangles rectangles, et par définition, seuls les triangles rectangles ont une hypoténuse. Si votre triangle a un angle exactement de 90 degrés, c'est un triangle rectangle et vous pouvez continuer.
Les angles droits sont souvent indiqués dans les manuels et les examens par un petit carré dans le coin du coin. Ce signe particulier signifie "90 degrés"
Étape 3. Attribuez les variables a, b et c aux côtés de votre triangle
La variable "c" sera toujours affectée à l'hypoténuse, ou côté le plus long. Choisissez l'un des autres côtés pour être "a", et appelez l'autre côté "b" (peu importe quel côté est a ou b, le calcul restera le même). Ensuite, insérez les longueurs de a et b dans la formule, selon l'exemple suivant:
Si votre triangle a des côtés de longueurs 3 et 4 et que vous avez attribué les lettres aux côtés de sorte que a = 3 et b = 4, vous écririez votre équation sous la forme: 32 + 42 = c2.
Étape 4. Trouvez le carré de a et b
Pour trouver le carré d'un nombre, il suffit de multiplier le nombre par lui-même, de sorte que une2 = un x un. Trouvez les carrés de a et de b et insérez-les dans votre formule.
- Si a = 3, un2 = 3 x 3, ou 9. Si b = 4, b2 = 4 x 4, ou 16.
- Lorsque vous branchez ces valeurs dans votre équation, votre équation devrait maintenant ressembler à ceci: 9 + 16 = c2.
Étape 5. Additionnez les valeurs d'un2 et b2.
Branchez la somme dans votre équation, et cela vous donnera la valeur de c2. Il ne reste qu'un pas et vous allez résoudre l'hypoténuse !
Dans notre exemple, 9 + 16 = 25, donc tu écrirais 25 = c2.
Étape 6. Trouvez la racine carrée de c2.
Utilisez la fonction racine carrée de votre calculatrice (ou de votre mémoire ou de votre table de multiplication) pour trouver la racine carrée de c2. La réponse est la longueur de votre hypoténuse !
Dans notre exemple, c2 = 25. La racine carrée de 25 est 5 (5x5 = 25, donc Racine (25) = 5). Ça veut dire, c = 5, la longueur de notre hypoténuse !
Méthode 2 sur 3: Trouver l'hypoténuse d'un triangle rectangle spécial
Étape 1. Apprenez à reconnaître les triangles avec le Triple de Pythagore
Les longueurs des côtés du triplet de Pythagore sont des nombres entiers selon le théorème de Pythagore. Ces triangles spéciaux apparaissent souvent dans les manuels de géométrie et les examens standardisés tels que l'ONU. Si vous vous souvenez surtout des 2 premiers triplets pythagoriciens, vous pouvez gagner beaucoup de temps sur ces tests car vous découvrirez rapidement l'hypoténuse d'un de ces triangles rien qu'en regardant les longueurs des côtés !
- Le premier triple pythagoricien fut 3-4-5 (32 + 42 = 52, 9 + 16 = 25). Lorsque vous voyez un triangle rectangle avec des jambes de longueurs 3 et 4, vous croirez immédiatement que son hypoténuse est de 5 sans avoir à faire de calcul.
-
Le triple rapport pythagoricien est vrai même si les côtés sont multipliés par un autre nombre. Par exemple, un triangle rectangle avec une longueur de jambe
Étape 6. da
Étape 8. aura une hypoténuse
Étape 10. (62 + 82 = 102, 36 + 64 = 100). C'est la même chose pour 9-12-15, et même 1, 5-2-2, 5. Essayez les calculs et voyez par vous-même!
- Le deuxième triplet pythagoricien qui apparaît fréquemment dans les examens est 5-12-13 (52 + 122 = 132, 25 + 144 = 169). Faites également attention aux multiples comme 10-24-26 et 2, 5-6-6, 5.
Étape 2. Rappelez-vous le rapport des côtés d'un triangle rectangle 45-45-90
Un triangle rectangle 45-45-90 a des angles de 45, 45 et 90 degrés et est également appelé triangle rectangle isocèle. Ce triangle apparaît fréquemment dans les examens standardisés et est un triangle très facile à résoudre. Le rapport des côtés de ce triangle est 1:1: Racine(2), ce qui signifie que les longueurs des jambes sont les mêmes, et la longueur de l'hypoténuse est simplement la longueur des jambes multipliée par la racine carrée de deux.
- Pour calculer l'hypoténuse de ce triangle en fonction de la longueur de l'une de ses jambes, multipliez simplement la longueur de la jambe par Sqrt(2).
- Connaître ces comparaisons est utile, en particulier lorsque vos questions d'examen ou de devoirs donnent les longueurs des côtés sous forme de variables au lieu d'entiers.
Étape 3. Étudiez les rapports des côtés d'un triangle rectangle 30-60-90
Ces triangles ont des mesures d'angle de 30, 60 et 90 degrés et se produisent lorsque vous coupez un triangle équilatéral en deux. Les côtés d'un triangle rectangle 30-60-90 ont toujours le rapport 1:Racine(3):2, ou x:Racine(3)x:2x. Si on vous donnait la longueur d'une jambe d'un triangle rectangle 30-60-90 et qu'on vous demandait de trouver l'hypoténuse, ce problème serait très facile à résoudre:
-
Si on vous donne la longueur de la jambe la plus courte (opposée à un angle de 30 degrés), multipliez simplement la longueur de la jambe par 2 pour trouver la longueur de l'hypoténuse. Par exemple, si la longueur de la jambe la plus courte est
Étape 4., vous savez que la longueur de l'hypoténuse doit être
Étape 8..
-
Si on vous donne la longueur de la jambe la plus longue (opposée à un angle de 60 degrés), multipliez cette longueur par 2/Racine(3) pour trouver la longueur de l'hypoténuse. Par exemple, si la longueur de la jambe la plus longue est
Étape 4., vous savez que la longueur de l'hypoténuse définie est 4, 62.
Méthode 3 sur 3: Trouver l'hypoténuse en utilisant la loi des sinus
Étape 1. Comprenez la signification de "Sine"
Les termes « sinus », « cosinus » et « tangente » font référence aux différents rapports entre les angles et/ou les côtés d'un triangle rectangle. Dans un triangle rectangle, sinus un angle est défini comme la longueur du côté opposé à l'angle divisé par hypoténuse triangulaire. L'abréviation de sinus dans les équations et les calculatrices est péché.
Étape 2. Apprenez à calculer le sinus
Même les calculatrices scientifiques de base ont une fonction sinusoïdale. Cherchez le bouton qui dit péché. Pour trouver le sinus d'un angle, vous appuyez généralement sur la touche péché puis entrez la mesure de l'angle en degrés. Cependant, dans certaines calculatrices, vous devez d'abord entrer la mesure d'angle puis appuyer sur le bouton péché. Vous devrez expérimenter avec votre calculatrice ou consulter le manuel pour déterminer la méthode à utiliser.
- Pour trouver le sinus d'un angle de 80 degrés, vous devez entrer péché 80 suivi d'un signe égal ou Entrée, ou 80 péché. (La réponse est -0, 9939.)
- Vous pouvez également taper « calculatrice sinus » dans une recherche sur le Web et rechercher des calculatrices faciles à utiliser, qui élimineront toute conjecture.
Étape 3. Apprenez la loi du sinus
La loi des sinus est un outil utile pour résoudre des triangles. En particulier, cette loi peut vous aider à trouver l'hypoténuse d'un triangle rectangle si vous connaissez la longueur d'un côté et la mesure d'un angle autre que cet angle droit. Pour tout triangle avec des côtés une, b, et c, et les angles UNE, B, et C, la loi du sinus stipule que a / péché A = b / péché B = c / péché C.
La loi des sinus peut en fait être utilisée pour résoudre n'importe quel triangle, mais seuls les triangles rectangles ont une hypoténuse
Étape 4. Attribuez les variables a, b et c aux côtés de votre triangle
L'hypoténuse (côté le plus long) doit être "c". Pour plus de commodité, étiquetez "a" pour le côté de longueur connue et étiquetez "b" pour l'autre côté. L'angle droit opposé à l'hypoténuse est "C". L'angle du côté opposé "a" est l'angle "A", et l'angle du côté opposé "b" est "B".
Étape 5. Calculez la mesure du troisième angle
Comme il s'agit d'un angle droit, nous savons déjà que C = 90 degrés, et vous connaissez aussi les mesures UNE ou B. Étant donné que la mesure du degré intérieur d'un triangle est toujours égale à 180 degrés, vous pouvez facilement calculer la mesure des angles des trois en utilisant la formule: 180 – (90 + A) = B. Vous pouvez également inverser l'équation pour 180 – (90 + B) = A.
Par exemple, si vous savez que A = 40 degrés, B = 180 – (90 + 40). Simplifiez cela pour B = 180 – 130, et vous pouvez rapidement déterminer que B = 50 degrés.
Étape 6. Vérifiez votre triangle
Dans cette étape, vous connaissez déjà les mesures des trois angles, et la longueur du côté a. Il est maintenant temps de brancher ces informations dans les équations de la loi des sinus pour déterminer les longueurs des deux autres côtés.
Pour continuer notre exemple, disons que la longueur du côté a = 10. Angle C = 90 degrés, angle A = 40 degrés et angle B = 50 degrés
Étape 7. Appliquez la loi du sinus à votre triangle
Il suffit de brancher nos nombres et de résoudre l'équation suivante pour trouver la longueur de l'hypoténuse c: longueur de côté a / sin A = longueur de côté c / sin C. Cette équation peut sembler un peu effrayante, mais le sinus de 90 degrés est toujours le même et est toujours égal à 1 ! Ainsi, notre équation peut être simplifiée en: a / sin A = c / 1, ou juste a / sin A = c.
Étape 8. Divisez la longueur du côté a avec le sinus de l'angle A pour trouver la longueur de l'hypoténuse !
Vous pouvez le trouver en deux étapes distinctes, d'abord en calculant le sin A et en notant le résultat, puis en divisant par a. Ou vous pouvez tout entrer dans la calculatrice en même temps. Si vous utilisez une calculatrice, n'oubliez pas de mettre les parenthèses après le signe de division. Par exemple, entrez 10 / (péché 40) ou 10 / (40 péché), selon votre calculatrice.
