Dans le calcul des dérivées, un point d'inflexion est le point sur une courbe auquel la courbe change de signe (de positif à négatif ou de négatif à positif). Il est utilisé dans une variété de sujets, y compris l'ingénierie, l'économie et les statistiques, pour déterminer les changements fondamentaux dans les données. Si vous avez besoin de trouver le point d'inflexion d'une courbe, passez à l'étape 1.
Étape
Méthode 1 sur 3: Comprendre les points d'inflexion
Étape 1. Comprendre la fonction concave
Pour comprendre le point d'inflexion, vous devez faire la distinction entre les fonctions concaves et convexes. Une fonction concave est une fonction dans laquelle la ligne reliant deux points sur le graphique n'est jamais au-dessus du graphique.
Étape 2. Comprendre la fonction convexe
Une fonction convexe est fondamentalement l'opposé d'une fonction convexe: c'est-à-dire une fonction dans laquelle la ligne reliant deux points sur le graphique n'est jamais en dessous du graphique.
Étape 3. Comprendre les bases d'une fonction
La base d'une fonction est le point où la fonction est égale à zéro.
Si vous allez représenter graphiquement une fonction, les bases sont les points où la fonction coupe l'axe des x
Méthode 2 sur 3: Recherche de la dérivée d'une fonction
Étape 1. Trouvez la dérivée première de votre fonction
Avant de pouvoir trouver le point d'inflexion, vous devez trouver la dérivée de votre fonction. La dérivée de la fonction de base peut être trouvée dans n'importe quel livre de calcul; Vous devez les apprendre avant de pouvoir passer à des tâches plus complexes. La dérivée première s'écrit f '(x). Pour une expression polynomiale de la forme axp + bx(p−1) + cx + d, la dérivée première est apx(p−1) + b(p 1)x(p−2) + c.
-
Pour illustrer, supposons que vous deviez trouver le point d'inflexion de la fonction f(x) = x3 +2x−1. Calculez la dérivée première de la fonction comme ceci:
f (x) = (x3 + 2x 1)′ = (x3)′ + (2x)′ (1)′ = 3x2 + 2 + 0 = 3x2 + 2
Étape 2. Trouvez la dérivée seconde de votre fonction
La dérivée seconde est la dérivée première de la dérivée première de la fonction, notée f (x).
-
Dans l'exemple ci-dessus, le calcul de la dérivée seconde de la fonction serait comme ceci:
f (x) = (3x2 + 2)′ = 2 × 3 × x + 0 = 6x
Étape 3. Rendez la dérivée seconde égale à zéro
Réglez votre dérivée seconde à zéro et résolvez l'équation. Votre réponse est un point d'inflexion possible.
-
Dans l'exemple ci-dessus, votre calcul ressemblerait à ceci:
f(x) = 0
6x = 0
x=0
Étape 4. Trouvez la dérivée troisième de votre fonction
Pour voir si votre réponse est vraiment un point d'inflexion, trouvez la dérivée troisième, qui est la dérivée première de la dérivée seconde de la fonction, notée f (x).
-
Dans l'exemple ci-dessus, votre calcul ressemblerait à ceci:
f (x) = (6x)′ = 6
Méthode 3 sur 3: Recherche de points d'inflexion
Étape 1. Vérifiez votre troisième dérivée
La règle standard pour vérifier les points d'inflexion possibles est la suivante: « Si la dérivée troisième n'est pas nulle, f (x) =/ 0, le point d'inflexion possible est en fait le point d'inflexion. Vérifiez votre dérivée troisième. Si elle n'est pas égale à zéro, alors cette valeur est le vrai point d'inflexion.
Dans l'exemple ci-dessus, votre troisième dérivée est 6, pas 0. Ainsi, 6 est le vrai point d'inflexion
Étape 2. Trouvez le point d'inflexion
Les coordonnées du point d'inflexion sont écrites sous la forme (x, f(x)), où x est la valeur du point variable au point d'inflexion et f(x) est la valeur de la fonction au point d'inflexion.
-
Dans l'exemple ci-dessus, rappelez-vous que lorsque vous calculez la dérivée seconde, vous trouvez que x = 0. Ainsi, vous devez trouver f(0) pour déterminer vos coordonnées. Votre calcul ressemblera à ceci:
f(0) = 03 +2×0−1 = 1.
Étape 3. Notez vos coordonnées
Les coordonnées de votre point d'inflexion sont votre valeur x et la valeur que vous avez calculée ci-dessus.
