Compléter des carrés est une technique utile pour vous aider à mettre des équations quadratiques sous une forme ordonnée, ce qui les rend faciles à voir ou même à résoudre. Vous pouvez compléter des carrés pour construire des formules quadratiques plus complexes ou même résoudre des équations quadratiques. Si vous voulez savoir comment le faire, suivez ces étapes.
Étape
Partie 1 sur 2: Conversion d'équations ordinaires en fonctions quadratiques
Étape 1. Écrivez l'équation
Supposons que vous vouliez résoudre l'équation suivante: 3x2 - 4x + 5.
Étape 2. Retirez les coefficients des variables quadratiques des deux premières parties
Pour sortir le numéro 3 des deux premières parties, il suffit de retirer le numéro 3 et de le mettre en dehors des parenthèses, en divisant chaque partie par 3. 3x2 divisé par 3 est x2 et 4x divisé par 3 est 4/3x. Ainsi, la nouvelle équation devient: 3(x2 - 4/3x) + 5. Le nombre 5 reste en dehors de l'équation car il n'est pas divisé par le nombre 3.
Étape 3. Divisez la deuxième partie par 2 et équarrissez-la
La deuxième partie ou ce que l'on appelle b dans l'équation est 4/3. Divisez par deux. 4/3 2, ou 4/3 x 1/2, équivaut à 2/3. Maintenant, ajustez cette section au carré du numérateur et du dénominateur de la fraction. (2/3)2 = 4/9. Écris le.
Étape 4. Ajoutez et soustrayez ces parties de l'équation
Vous aurez besoin de cette pièce supplémentaire pour ramener l'équation à un carré parfait. Cependant, vous devez les soustraire du reste de l'équation pour les additionner. Cependant, il semble que vous reveniez à votre équation d'origine. Votre équation ressemble à ceci: 3(x2 - 4/3 x + 4/9 - 4/9) + 5.
Étape 5. Retirez la partie que vous avez soustraite des supports
Comme vous avez un coefficient de 3 en dehors des parenthèses, vous ne pouvez pas simplement afficher -4/9. Il faut d'abord le multiplier par 3. -4/9 x 3 = -12/9, ou -4/3. Si vous avez un coefficient de 1 dans la section x.2, vous pouvez ignorer cette étape.
Étape 6. Remplacez la partie entre parenthèses par un carré parfait
Maintenant, il y a 3(x2 -4/3x +4/9) entre parenthèses. Vous avez déjà essayé d'obtenir 4/9, ce qui est en fait une autre façon de compléter le carré. Vous pouvez donc le réécrire sous la forme: 3(x - 2/3)2. Tout ce que vous avez à faire est de diviser la seconde moitié et d'éliminer la troisième. Vous pouvez vérifier votre travail en le multipliant et en trouvant les trois premières parties de l'équation.
-
3(x - 2/3)2 =
Terminez l'étape carrée 6Bullet1 - 3(x - 2/3)(x -2/3) =
- 3[(x2 -2/3x -2/3x + 4/9)]
- 3(x2 - 4/3x + 4/9)
Étape 7. Combinez les constantes
Maintenant, il y a deux constantes ou nombres qui n'ont pas de variables. Maintenant, vous avez 3(x - 2/3)2 - 4/3 + 5. Il suffit d'additionner -4/3 et 5 pour obtenir 11/3. Vous les additionnez en égalant les dénominateurs: -4/3 et 15/3, puis en additionnant les nombres pour obtenir 11 et laisser le dénominateur 3.
-
-4/3 + 15/3 = 11/3.
Terminez l'étape carrée 7Bullet1
Étape 8. Écrivez l'équation sous forme quadratique
Vous avez fait. L'équation finale est 3(x - 2/3)2 +11/3. Vous pouvez éliminer le coefficient de 3 en divisant les deux côtés de l'équation pour obtenir (x - 2/3)2 +11/9. Vous avez réussi à écrire l'équation sous forme quadratique, à savoir a(x - h)2 +k, où k représente une constante.
Partie 2 sur 2: Résolution d'équations quadratiques
Étape 1. Notez les questions
Supposons que vous vouliez résoudre l'équation suivante: 3x2 + 4x + 5 = 6
Étape 2. Combinez les constantes existantes et placez-les sur le côté gauche de l'équation
Une constante est un nombre qui n'a pas de variable. Dans ce problème, la constante est 5 à gauche et 6 à droite. Si vous voulez déplacer 6 vers la gauche, vous devez soustraire les deux côtés de l'équation par 6. Le reste est 0 sur le côté droit (6-6) et -1 sur le côté gauche (5-6). L'équation devient: 3x2 + 4x - 1 = 0.
Étape 3. Sortez le coefficient de la variable quadratique
Dans ce problème, 3 est le coefficient de x2. Pour obtenir le chiffre 3, il suffit de retirer le chiffre 3 et de diviser chaque partie par 3. Donc, 3x2 3 = x2, 4x 3 = 4/3x et 1 3 = 1/3. L'équation devient: 3(x2 + 4/3x - 1/3) = 0.
Étape 4. Divisez par la constante que vous venez d'extraire
Cela signifie que vous pouvez supprimer le coefficient 3. Puisque vous avez déjà divisé chaque partie par 3, vous pouvez supprimer le chiffre 3 sans affecter l'équation. Votre équation devient x2 + 4/3x - 1/3 = 0
Étape 5. Divisez la deuxième partie par 2 et équarrissez-la
Ensuite, prenez la deuxième partie, 4/3, ou partie b, et divisez-la par 2. 4/3 2 ou 4/3 x 1/2, égale 4/6 ou 2/3. Et 2/3 au carré à 4/9. Une fois que vous l'avez mis au carré, vous devrez l'écrire sur les côtés gauche et droit de l'équation car vous ajoutez une nouvelle partie. Vous devez l'écrire des deux côtés pour l'équilibrer. L'équation devient x2 + 4/3 x + 2/32 - 1/3 = 2/32
Étape 6. Déplacez la constante initiale vers la droite de l'équation et ajoutez-la au carré de votre nombre
Déplacez la constante initiale, -1/3, vers la droite, ce qui en fait 1/3. Ajoutez le carré de votre numéro, 4/9 ou 2/32. Trouvez un dénominateur commun pour additionner 1/3 et 4/9 en multipliant les fractions supérieure et inférieure de 1/3 par 3. 1/3 x 3/3 = 3/9. Ajoutez maintenant 3/9 et 4/9 pour obtenir 7/9 du côté droit de l'équation. L'équation devient: x2 + 4/3 x + 2/32 = 4/9 + 1/3 puis x2 + 4/3 x + 2/32 = 7/9.
Étape 7. Écrivez le côté gauche de l'équation comme un carré parfait
Puisque vous avez déjà utilisé la formule pour trouver la pièce manquante, la partie difficile a été ignorée. Il suffit de mettre x et demi la valeur du deuxième coefficient entre parenthèses et de le carré, par exemple: (x + 2/3)2. Notez que la factorisation d'un carré parfait donnera trois parties: x2 + 4/3 x + 4/9. L'équation devient: (x + 2/3)2 = 7/9.
Étape 8. Racine carrée des deux côtés
Du côté gauche de l'équation, la racine carrée de (x + 2/3)2 est x + 2/3. Du côté droit de l'équation, vous obtiendrez +/- (√7)/3. La racine carrée du dénominateur, 9, est 3, et la racine carrée de 7 est 7. N'oubliez pas d'écrire +/- car la racine carrée peut être positive ou négative.
Étape 9. Déplacez les variables
Pour déplacer la variable x, il suffit de déplacer la constante 2/3 vers la droite de l'équation. Maintenant, vous avez deux réponses possibles pour x: +/- (√7)/3 - 2/3. Ce sont vos deux réponses. Vous pouvez le laisser seul ou trouver la valeur de la racine carrée de 7 si vous devez écrire une réponse sans racine carrée.
Des astuces
- Assurez-vous d'écrire +/- à l'endroit approprié, sinon vous n'obtiendrez qu'une seule réponse.
- Même après avoir connu la formule quadratique, entraînez-vous à compléter le carré régulièrement, soit en prouvant la formule quadratique, soit en résolvant certains problèmes. De cette façon, vous n'oublierez pas la méthode lorsque vous en aurez besoin.
