Comment dessiner un graphique carré : 10 étapes (avec des images)

2024 Auteur: Jason Gerald | [email protected]. Dernière modifié: 2024-02-01 14:13

Lorsqu'elle est représentée graphiquement, l'équation quadratique est de la forme hache² + bx + c ou a(x - h)² + k forme la lettre U ou une courbe en U inversée appelée parabole. Représenter graphiquement une équation quadratique consiste à rechercher le sommet, la direction et souvent l'intersection x et y. Dans les cas d'équations quadratiques assez simples, la saisie d'un ensemble de valeurs x et le tracé de la courbe en fonction des points résultants peuvent être suffisants. Voir l'étape 1 ci-dessous pour commencer.

Étape

Étape 1. Déterminez la forme de l'équation quadratique que vous avez

Les équations quadratiques peuvent être écrites sous trois formes différentes: forme générale, forme sommet et forme quadratique. Vous pouvez utiliser n'importe quelle forme pour représenter graphiquement une équation quadratique; le processus de représentation de chaque graphique est légèrement différent. Si vous faites vos devoirs, vous recevrez généralement des questions sous l'une de ces deux formes – en d'autres termes, vous ne pourrez pas choisir, il est donc préférable de comprendre les deux. Les deux formes de l'équation quadratique sont:

• Forme générale.

  Sous cette forme, l'équation quadratique s'écrit: f(x) = ax² + bx + c où a, b et c sont des nombres réels et a n'est pas nul.

  Par exemple, deux équations quadratiques de forme générale sont f(x) = x² + 2x + 1 et f(x) = 9x² + 10x -8.

• Forme de pointe.

  Sous cette forme, l'équation quadratique s'écrit: f(x) = a(x - h)² + k où a, h et k sont des nombres réels et a n'est pas nul. On l'appelle la forme du sommet car h et k donneront immédiatement le sommet (milieu) de votre parabole au point (h, k).

  Les deux équations de forme de sommet sont f(x) = 9(x - 4)² + 18 et -3(x - 5)² + 1

• Pour représenter graphiquement n'importe quel type d'équation, nous devons d'abord trouver le sommet de la parabole, qui est le milieu (h, k) à la fin de la courbe. Les coordonnées des pics sous la forme générale sont calculées comme: h = -b/2a et k = f(h), tandis que dans la forme pic, h et k sont dans l'équation.

Étape 2. Définissez vos variables

Afin de résoudre un problème quadratique, les variables a, b et c (ou a, h et k) doivent généralement être définies. Un problème d'algèbre ordinaire donnera une équation quadratique avec les variables disponibles, généralement sous forme générale, mais parfois sous forme de pic.

• Par exemple, pour une équation de forme générale f(x) = 2x² +16x + 39, nous avons a = 2, b = 16 et c = 39.
• Pour l'équation de forme de pic f(x) = 4(x - 5)² + 12, nous avons a = 4, h = 5 et k = 12.

Étape 3. Calculez h

Dans l'équation sous forme de sommet, votre valeur h est déjà donnée, mais dans l'équation sous forme générale, la valeur h doit être calculée. Rappelons que, pour les équations de forme générale, h = -b/2a.

• Dans notre exemple de forme générale (f(x) = 2x² +16x + 39), h = -b/2a = -16/2(2). Après résolution, on trouve que h = - 4.
• Dans notre exemple de forme de sommet (f(x) = 4(x - 5)² + 12), on sait que h = 5 sans faire de calcul.

Étape 4. Calculez k

Comme h, k est déjà connu dans l'équation de la forme du pic. Pour les équations de forme générale, rappelons que k = f(h). En d'autres termes, vous pouvez trouver k en remplaçant toutes les valeurs x de votre équation par les valeurs h que vous venez de trouver.

• Nous avons déjà déterminé dans notre exemple de forme générale que h = -4. Pour trouver k, nous résolvons notre équation en insérant notre valeur de h à la place de x:

  • k = 2(-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2(16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Étape 7.

• Dans notre exemple de forme de pointe, encore une fois, nous connaissons la valeur de k (qui est de 12) sans avoir à faire de calcul.

Étape 5. Dessinez votre pic

Le sommet de votre parabole est le point (h, k) - h représente la coordonnée x, tandis que k représente la coordonnée y. Le sommet est le milieu de votre parabole - soit au bas du U, soit au sommet du U inversé. Connaître les sommets est une partie importante du dessin d'une parabole précise - souvent, à l'école, la détermination du sommet est la partie à rechercher dans une question.

• Dans notre exemple de forme générale, notre pic est (-4, 7). Ainsi, notre parabole culminera 4 pas vers la gauche à partir de 0 et 7 pas au dessus (0, 0). Nous devons représenter ce point dans notre graphique, en veillant à marquer les coordonnées.
• Dans notre exemple de forme de sommet, notre sommet est (5, 12). Nous devons tracer un point 5 pas vers la droite et 12 pas au-dessus (0, 0).

Étape 6. Dessinez l'axe de la parabole (facultatif)

L'axe de symétrie d'une parabole est une ligne qui passe par son centre, la divisant exactement au milieu. Sur cet axe, le côté gauche de la parabole reflétera le côté droit. Pour les équations du second degré sous la forme ax² + bx + c ou a(x - h)² + k, l'axe de symétrie est la droite parallèle à l'axe y (c'est-à-dire exactement verticale) et passant par le sommet.

Dans le cas de notre exemple de forme générale, l'axe est la droite parallèle à l'axe des y et passant par le point (-4, 7). Même si cela ne fait pas partie de la parabole, marquer finement cette ligne sur votre graphique vous aidera éventuellement à voir la forme symétrique de la courbe de la parabole

Étape 7. Trouvez la direction de l'ouverture de la parabole

Après avoir connu le pic et l'axe de la parabole, nous devons ensuite savoir si la parabole s'ouvre vers le haut ou vers le bas. Heureusement, c'est facile. Si la valeur de a est positive, la parabole s'ouvrira vers le haut, alors que si la valeur de a est négative, la parabole s'ouvrira vers le bas (c'est-à-dire que la parabole sera inversée).

• Pour notre exemple de forme générale (f(x) = 2x² +16x + 39), nous savons que nous avons une parabole qui s'ouvre car, dans notre équation, a = 2 (positif).
• Pour notre exemple de forme de sommet (f(x) = 4(x - 5)² + 12), on sait qu'on a aussi une parabole qui s'ouvre car a = 4 (positif).

Étape 8. Si nécessaire, recherchez et dessinez l'abscisse à l'origine

Souvent, à l'école, on vous demandera de trouver l'abscisse dans la parabole (qui est un ou deux points où la parabole rencontre l'axe des x). Même si vous n'en trouvez pas, ces deux points sont très importants pour tracer une parabole précise. Cependant, toutes les paraboles n'ont pas d'ordonnée à l'origine. Si votre parabole a un sommet qui s'ouvre et que son sommet est au-dessus de l'axe des x ou si elle s'ouvre vers le bas et que son sommet est en dessous de l'axe des x, la parabole n'aura pas d'abscisse. Sinon, résolvez votre abscisse de l'une des manières suivantes:

• Faites simplement f(x) = 0 et résolvez l'équation. Cette méthode peut être utilisée pour des équations quadratiques simples, en particulier sous forme de pic, mais sera très difficile pour des équations complexes. Voir ci-dessous pour un exemple

  • f(x) = 4(x - 12)² - 4
  • 0 = 4(x - 12)² - 4
  • 4 = 4(x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • Racine (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 et 13 est l'abscisse à l'origine de la parabole.

• Factorisez votre équation. Quelques équations sous la forme ax² + bx + c peut facilement être factorisé sous la forme (dx + e)(fx +g), où dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx, et e × g = c. Dans ce cas, vos x-intercepts sont des valeurs x qui feront de n'importe quel terme entre parenthèses = 0. Par exemple:

  • X² + 2x + 1
  • = (x + 1)(x + 1)
  • Dans ce cas, votre seule point d'origine est -1 car si x est égal à -1, tout terme de facteur entre parenthèses sera égal à 0.

• Utilisez la formule quadratique. Si vous ne pouvez pas facilement résoudre votre abscisse ou factoriser votre équation, utilisez une équation spéciale appelée formule quadratique qui a été créée à cet effet. Si ce n'est pas encore résolu, convertissez votre équation sous la forme hache² + bx + c, puis entrez a, b et c dans la formule x = (-b +/- sqrt(b)² - 4ac))/2a. Notez que cette méthode vous donne souvent deux réponses pour la valeur de x, ce qui est OK - cela signifie simplement que votre parabole a deux abscisses à l'origine. Voir ci-dessous pour un exemple:

  • -5x² + 1x + 10 est mis dans la formule quadratique comme ceci:
  • x = (-1 +/- Racine (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- Racine(1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- Racine (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14, 18)/-10
  • x = (13, 18/-10) et (-15, 18/-10). L'ordonnée à l'origine de la parabole est x = - 1, 318 et 1, 518
  • Notre exemple précédent de la forme générale, 2x² +16x+39 est mis dans la formule quadratique comme suit:
  • x = (-16 +/- Racine (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- Racine (256 - 312))/4
  • x = (-16 +/- Racine (-56)/-10
  • Puisqu'il est impossible de trouver la racine carrée d'un nombre négatif, nous savons que cette parabole n'a pas d'interception x.

Étape 9. Si nécessaire, recherchez et dessinez l'ordonnée à l'origine

Bien qu'il ne soit souvent pas nécessaire de rechercher l'ordonnée à l'origine dans les équations (le point où la parabole passe par l'axe des y), vous devrez peut-être éventuellement la trouver, surtout si vous êtes à l'école. Le processus est assez simple - faites simplement x = 0, puis résolvez votre équation pour f(x) ou y, ce qui donne la valeur de y où votre parabole passe par l'axe des y. Contrairement à l'ordonnée à l'origine, une parabole régulière ne peut avoir qu'une seule ordonnée à l'origine. Remarque – pour les équations de forme générale, l'ordonnée à l'origine est à y = c.

• Par exemple, nous savons que notre équation quadratique est 2x² + 16x + 39 a une ordonnée à l'origine à y = 39, mais il peut également être trouvé de la manière suivante:

  • f(x) = 2x² +16x+39
  • f(x) = 2(0)² + 16(0) + 39

  • f(x) = 39. L'ordonnée à l'origine de la parabole est à y = 39.

    Comme indiqué ci-dessus, l'ordonnée à l'origine est à y = c.

• La forme de notre équation de sommet est 4(x - 5)² + 12 a une ordonnée à l'origine qui peut être trouvée de la manière suivante:

  • f(x) = 4(x - 5)² + 12
  • f(x) = 4(0 - 5)² + 12
  • f(x) = 4(-5)² + 12
  • f(x) = 4(25) + 12

  • f(x) = 112. L'ordonnée à l'origine de la parabole est à y = 112.

Étape 10. Si nécessaire, tracez des points supplémentaires, puis tracez un graphique

Vous avez maintenant le sommet, la direction, l'intersection x et éventuellement l'intersection y dans votre équation. A ce stade, vous pouvez essayer de tracer votre parabole en vous servant des points dont vous disposez pour vous guider, ou chercher d'autres points pour remplir votre parabole afin que la courbe que vous tracez soit plus précise. Le moyen le plus simple de le faire est simplement d'entrer des valeurs x de n'importe quel côté de votre sommet, puis de tracer ces points en utilisant les valeurs y que vous obtenez. Souvent, les enseignants vous demandent de rechercher plusieurs points avant de dessiner votre parabole.

• Revoyons l'équation x² + 2x + 1. Nous savons déjà que l'ordonnée à l'origine n'est qu'à x = -1. Étant donné que la courbe ne touche l'abscisse qu'à un seul point, nous pouvons conclure que le sommet est son intersection, ce qui signifie que le sommet est (-1, 0). Nous n'avons effectivement qu'un seul point pour cette parabole – pas assez pour tracer une bonne parabole. Cherchons d'autres points pour nous assurer que nous dessinons un graphique complet.

  • Trouvons les valeurs y pour les valeurs x suivantes: 0, 1, -2 et -3.
  • Pour 0: f(x) = (0)² + 2(0) + 1 = 1. Notre point est (0, 1).

  • Pour 1: f(x) = (1)² + 2(1) + 1 = 4. Notre argument est (1, 4).

  • Pour -2: f(x) = (-2)² + 2(-2) + 1 = 1. Notre point est (-2, 1).

  • Pour -3: f(x) = (-3)² + 2(-3) + 1 = 4. Notre point est (-3, 4).

  • Dessinez ces points sur le graphique et tracez votre courbe en forme de U. Notez que la parabole est parfaitement symétrique - lorsque vos points d'un côté de la parabole sont des nombres entiers, vous pouvez généralement réduire le travail consistant simplement à refléter un point donné sur l'axe de symétrie de la parabole pour trouver le même point de l'autre côté de la parabole.

Des astuces

• Arrondissez les nombres ou utilisez des fractions selon la demande de votre professeur d'algèbre. Cela vous aidera à mieux représenter graphiquement l'équation quadratique.
• Notez que dans f(x) = ax² + bx + c, si b ou c est égal à zéro, ces nombres disparaîtront. Par exemple, 12x² + 0x + 6 devient 12x² + 6 car 0x est 0.