4 manières de dériver en calcul

2024 Auteur: Jason Gerald | [email protected]. Dernière modifié: 2024-01-19 22:12

Les dérivés peuvent être utilisés pour dériver des caractéristiques utiles d'un graphique, telles que les valeurs maximales, minimales, de crête, de creux et de pente. Vous pouvez même l'utiliser pour représenter graphiquement des équations complexes sans calculatrice graphique ! Malheureusement, travailler sur les dérivés est souvent fastidieux, mais cet article vous aidera avec quelques trucs et astuces.

Étape

Étape 1. Comprendre la notation dérivée

Les deux notations suivantes sont les plus couramment utilisées, bien que de nombreuses autres puissent être trouvées ici sur Wikipedia.

• Notation de Leibniz Cette notation est la notation la plus couramment utilisée lorsque l'équation implique y et x. dy/dx signifie littéralement la dérivée de y par rapport à x. Il peut être utile de le considérer comme y/Δx pour des valeurs très différentes de x et y. Cette explication conduit à la définition de la limite dérivée: lim_h->0 (f(x+h)-f(x))/h. Lorsque vous utilisez cette notation pour la dérivée seconde, vous devez écrire: d²y/dx².
• Notation de Lagrange La dérivée de la fonction f s'écrit aussi f'(x). Cette notation lit f accentué x. Cette notation est plus courte que la notation de Leibniz et est utile pour visualiser les dérivées comme des fonctions. Pour former un plus grand degré de dérivée, ajoutez simplement ' à f, de sorte que la dérivée seconde sera f''(x).

Étape 2. Comprendre la signification de la dérivée et les raisons de la descente

Tout d'abord, pour trouver la pente d'un graphique linéaire, deux points sur la ligne sont pris et leurs coordonnées sont entrées dans l'équation (y₂ - oui₁)/(X₂ - X₁). Cependant, il ne peut être utilisé que pour des graphiques linéaires. Pour les équations quadratiques et supérieures, la ligne sera une courbe, donc trouver la différence entre deux points n'est pas très précis. Pour trouver la pente de la tangente dans un graphe courbe, deux points sont pris et mis dans l'équation générale pour trouver la pente du graphe courbe: [f(x + dx) - f(x)]/dx. Dx désigne delta x, qui est la différence entre deux coordonnées x en deux points du graphique. Notez que cette équation est la même que (y₂ - oui₁)/(X₂ - X₁), uniquement sous une forme différente. Comme on savait que les résultats seraient imprécis, une approche indirecte a été appliquée. Pour trouver la pente de la tangente sur (x, f(x)), dx doit être proche de 0, de sorte que les deux points dessinés fusionnent en un seul point. Cependant, vous ne pouvez pas diviser 0, donc une fois que vous avez entré les valeurs à deux points, vous devrez utiliser la factorisation et d'autres méthodes pour supprimer dx du bas de l'équation. Une fois que vous avez fait cela, faites dx 0 et vous avez terminé. C'est la pente de la tangente à (x, f(x)). La dérivée d'une équation est l'équation générale pour trouver la pente de n'importe quelle tangente sur un graphique. Cela peut sembler très compliqué, mais il y a quelques exemples ci-dessous, qui aideront à expliquer comment obtenir la dérivée.

Méthode 1 sur 4: Dérivés explicites

Étape 1. Utilisez une dérivée explicite si votre équation a déjà y d'un côté

Étape 2. Insérez l'équation dans l'équation [f(x + dx) - f(x)]/dx

Par exemple, si l'équation est y = x², la dérivée sera [(x + dx)² - X²]/dx.

Étape 3. Développez et supprimez dx pour former l'équation [dx(2x + dx)]/dx

Maintenant, vous pouvez lancer deux dx en haut et en bas. Le résultat est 2x + dx, et lorsque dx approche de zéro, la dérivée est 2x. Cela signifie que la pente de toute tangente du graphique y = x² est 2x. Entrez simplement la valeur x du point pour lequel vous souhaitez trouver la pente.

Étape 4. Apprenez des modèles pour dériver des équations similaires

Voici quelques exemples.

• Tout exposant est la puissance multipliée par la valeur, élevée à la puissance inférieure à 1. Par exemple, la dérivée de x⁵ est 5x⁴, et la dérivée de x^{3, 5} iis3, 5x^{2, 5}. S'il y a déjà un nombre devant x, multipliez-le simplement par la puissance. Par exemple la dérivée de 3x⁴ est 12x³.
• La dérivée de toute constante est zéro. Ainsi, la dérivée de 8 est 0.
• La dérivée de la somme est la somme des dérivées respectives. Par exemple, la dérivée de x³ + 3x² est 3x² + 6x.
• La dérivée du produit est le premier facteur multiplié par la dérivée du deuxième facteur plus le deuxième facteur multiplié par la dérivée du premier facteur. Par exemple, la dérivée de x³(2x + 1) est x³(2) + (2x + 1)3x², qui est égal à 8x³ + 3x².
• La dérivée du quotient (disons, f/g) est [g(dérivé de f) - f(dérivé de g)]/g². Par exemple, la dérivée de (x² + 2x - 21)/(x - 3) est (x² - 6x + 15)/(x - 3)².

Méthode 2 sur 4: Dérivés implicites

Étape 1. Utilisez des dérivées implicites si votre équation ne peut pas déjà être écrite avec y d'un côté

En fait, si vous écriviez y d'un côté, le calcul dy/dx serait fastidieux. Voici un exemple de la façon dont vous pouvez résoudre ce type d'équation.

Étape 2. Dans cet exemple, x²a + 2a³ = 3x + 2y, remplacez y par f(x), vous vous souviendrez donc que y est en fait une fonction.

L'équation devient alors x²f(x) + 2[f(x)]³ = 3x + 2f(x).

Étape 3. Pour trouver la dérivée de cette équation, dérivez les deux côtés de l'équation par rapport à x

L'équation devient alors x²f'(x) + 2xf(x) + 6[f(x)]²f'(x) = 3 + 2f'(x).

Étape 4. Remplacez à nouveau f(x) par y

Attention à ne pas substituer f'(x), qui est différent de f(x).

Étape 5. Trouvez f'(x)

La réponse pour cet exemple devient (3 - 2xy)/(x² + 6 ans² - 2).

Méthode 3 sur 4: Dérivés d'ordre supérieur

Étape 1. Dériver une fonction d'ordre supérieur signifie que vous dérivez la dérivée (à l'ordre 2)

Par exemple, si le problème vous demande de dériver le troisième ordre, alors prenez simplement la dérivée de la dérivée de la dérivée. Pour certaines équations, la dérivée d'ordre supérieur sera 0.

Méthode 4 sur 4: Règle de la chaîne

Étape 1. Si y est une fonction différentielle de z et que z est une fonction différentielle de x, y est une fonction composée de x et la dérivée de y par rapport à x (dy/dx) est (dy/du)* (du/dx)

La règle de la chaîne peut également être une combinaison d'équations de puissance, comme celle-ci: (2x⁴ - X)³. Pour trouver la dérivée, il suffit de la considérer comme la règle de multiplication. Multipliez l'équation par la puissance et diminuez de 1 à la puissance. Ensuite, multipliez l'équation par la dérivée de l'équation entre parenthèses qui augmente la puissance (dans ce cas, 2x^4 - x). La réponse à cette question est 3(2x⁴ - X)²(8x³ - 1).

Des astuces

• Chaque fois que vous voyez un problème difficile à résoudre, ne vous inquiétez pas. Essayez simplement de le décomposer en autant de parties plus petites que possible en appliquant les règles de multiplication, de quotient, etc. Ensuite, abaissez chaque partie.
• Entraînez-vous avec la règle de multiplication, la règle du quotient, la règle de la chaîne, et surtout, les dérivées implicites, car ces règles sont beaucoup plus difficiles en calcul.
• Comprenez bien votre calculatrice; essayez les différentes fonctions de votre calculatrice pour apprendre à les utiliser. Il est très utile de savoir utiliser les tangentes et les fonctions dérivées dans votre calculatrice si elles sont disponibles.
• Rappelez-vous les dérivées trigonométriques de base et comment les utiliser.