Deux fractions sont équivalentes si elles ont la même valeur. Savoir convertir des fractions en leurs formes équivalentes est une compétence mathématique extrêmement importante, requise pour toutes les formes de mathématiques, de l'algèbre de base au calcul avancé. Cet article fournira plusieurs façons de calculer des fractions équivalentes de la multiplication et de la division de base à des façons plus complexes de résoudre des équations fractionnaires équivalentes.
Étape
Méthode 1 sur 5: Organisation des fractions équivalentes
Étape 1. Multipliez le numérateur et le dénominateur par le même nombre
Deux fractions différentes mais équivalentes ont, par définition, un numérateur et un dénominateur qui sont des multiples l'un de l'autre. En d'autres termes, multiplier le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre produira des fractions équivalentes. Bien que les nombres de la nouvelle fraction soient différents, les fractions auront la même valeur.
- Par exemple, si nous prenons la fraction 4/8 et multiplions le numérateur et le dénominateur par 2, nous obtenons (4×2)/(8×2) = 8/16. Ces deux fractions sont équivalentes.
- (4×2)/(8×2) est en fait le même que 4/8×2/2. N'oubliez pas qu'en multipliant deux fractions, nous multiplions directement, c'est-à-dire le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur.
- Notez que 2/2 est égal à 1 si vous faites la division. Ainsi, il est plus facile de comprendre pourquoi 4/8 et 8/16 sont équivalents car en multipliant 4/8 × (2/2) = reste 4/8. De la même manière, c'est la même chose que de dire 4/8 = 8/16.
- Toute fraction donnée a un nombre infini de fractions équivalentes. Vous pouvez multiplier à la fois le numérateur et le dénominateur par n'importe quel entier, quelle que soit sa taille ou sa petite taille, pour obtenir une fraction équivalente.
Étape 2. Divisez le numérateur et le dénominateur par le même nombre
Comme la multiplication, la division peut également être utilisée pour trouver une nouvelle fraction équivalente à votre fraction d'origine. Il suffit de diviser le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre pour obtenir la fraction équivalente. Il y a un inconvénient à ce processus: la fraction finale doit avoir des nombres entiers à la fois dans le numérateur et le dénominateur pour être vraie.
Par exemple, revenons à 4/8. Si, au lieu de multiplier, on divise à la fois le numérateur et le dénominateur par 2, on obtient (4 2)/(8 2) = 2/4. 2 et 4 sont des nombres entiers, donc ces fractions équivalentes sont vraies
Méthode 2 sur 5: Utilisation de la multiplication de base pour déterminer l'égalité
Étape 1. Trouvez le nombre qui doit être multiplié par le plus petit dénominateur pour obtenir le plus grand dénominateur
De nombreux problèmes concernant les fractions impliquent de déterminer si deux fractions sont équivalentes. En calculant ce nombre, vous pouvez commencer à assimiler les termes fractionnaires pour déterminer l'égalité.
- Par exemple, réutilisez les fractions 4/8 et 8/16. Le plus petit dénominateur est 8 et nous devons multiplier le nombre par 2 pour obtenir le plus grand dénominateur, qui est 16. Le nombre dans ce cas est donc 2.
- Pour les nombres plus difficiles, vous pouvez diviser le plus grand dénominateur par le plus petit dénominateur. Dans ce cas, 16 est divisé par 8, ce qui donne toujours 2.
- Le nombre n'est pas toujours un entier. Par exemple, si les dénominateurs sont 2 et 7, alors le nombre est 3, 5.
Étape 2. Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction qui a le plus petit terme par le nombre de la première étape
Deux fractions différentes mais équivalentes ont, par définition, numérateur et dénominateur multiples l'un de l'autre. En d'autres termes, multiplier le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre produira une fraction équivalente. Bien que les nombres de cette nouvelle fraction soient différents, ces fractions auront la même valeur.
Par exemple, si nous utilisons la fraction 4/8 de la première étape et multiplions le numérateur et le dénominateur par le nombre que nous avons défini précédemment, qui est 2, nous obtenons (4×2)/(8×2) = 8/16. Ce résultat prouve que ces deux fractions sont équivalentes.
Méthode 3 sur 5: Utilisation de la division de base pour déterminer l'égalité
Étape 1. Comptez chaque fraction comme un nombre décimal
Pour les fractions simples sans variables, vous pouvez représenter chaque fraction sous la forme d'un nombre décimal pour déterminer l'égalité. Puisque chaque fraction est en fait un problème de division, c'est la façon la plus simple de déterminer l'égalité.
- Par exemple, utilisez la fraction que nous avons utilisée plus tôt, 4/8. La fraction 4/8 équivaut à dire 4 divisé par 8, soit 4/8 = 0,5. Vous pouvez également résoudre l'autre exemple, qui est 8/16 = 0,5. Quels que soient les termes d'une fraction, la fraction est équivalente si les deux nombres sont identiques lorsqu'ils sont représentés en décimal.
- Gardez à l'esprit que les expressions décimales peuvent avoir plusieurs chiffres avant que l'égalité ne soit évidente. À titre d'exemple de base, 1/3 = 0,333 se répète tandis que 3/10 = 0,3. En utilisant plus d'un chiffre, nous voyons que ces deux fractions ne sont pas équivalentes.
Étape 2. Divisez le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre pour obtenir une fraction équivalente
Pour les fractions plus complexes, la méthode de division nécessite des étapes supplémentaires. Alors qu'avec la multiplication, vous pouvez diviser le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre pour obtenir une fraction équivalente. Il y a un inconvénient à ce processus. La fraction finale doit avoir des nombres entiers dans le numérateur et le dénominateur pour être vraie.
Par exemple, revenons à 4/8. Si, au lieu de multiplier, on divise le numérateur et le dénominateur par 2, on obtient (4 2)/(8 2) = 2/4. 2 et 4 sont des nombres entiers, donc ces fractions équivalentes sont vraies.
Étape 3. Simplifiez les fractions dans leurs termes les plus simples
La plupart des fractions sont généralement écrites dans leurs termes les plus simples, et vous pouvez convertir des fractions dans leur forme la plus simple en divisant par le plus grand facteur commun (GCF). Cette étape est effectuée dans la même logique que l'écriture de fractions équivalentes, en les convertissant au même dénominateur, mais cette méthode tente de simplifier chaque fraction à ses plus petits termes possibles.
- Lorsqu'une fraction est dans sa forme la plus simple, le numérateur et le dénominateur ont les valeurs les plus petites possibles. Les deux ne peuvent pas être divisés par un entier pour obtenir la plus petite valeur. Pour convertir une fraction qui n'est pas dans sa forme la plus simple en sa forme équivalente la plus simple, nous divisons le numérateur et le dénominateur par leur plus grand facteur commun.
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Le plus grand facteur commun (GCF) du numérateur et du dénominateur est le plus grand nombre qui les divise pour donner un résultat entier. Donc, dans notre exemple 4/8, parce que
Étape 4. est le plus grand nombre divisible par 4 et 8, nous diviserons le numérateur et le dénominateur de notre fraction par 4 pour obtenir les termes les plus simples. (4 4)/(8 4) = 1/2. Pour notre autre exemple, 8/16, le GCF est de 8, ce qui renvoie également la valeur 1/2 comme expression la plus simple d'une fraction.
Méthode 4 sur 5: Utilisation de produits croisés pour rechercher des variables
Étape 1. Disposez les deux fractions de manière à ce qu'elles soient égales l'une à l'autre
Nous utilisons la multiplication croisée pour les problèmes mathématiques où nous savons que les fractions sont équivalentes, mais l'un des nombres a été remplacé par une variable (généralement x) que nous devons résoudre. Dans des cas comme celui-ci, nous savons que ces fractions sont équivalentes car ce sont les seuls termes de l'autre côté du signe égal, mais souvent la façon de trouver la variable n'est pas évidente. Heureusement, avec la multiplication croisée, la résolution de ces types de problèmes est facile.
Étape 2. Prenez deux fractions équivalentes et multipliez-les par un "X"
En d'autres termes, vous multipliez le numérateur d'une fraction par le dénominateur d'une autre fraction et vice versa, puis arrangez les deux réponses pour qu'elles correspondent et résolvez.
Prenez nos deux exemples, 4/8 et 8/16. Ni l'un ni l'autre n'a de variable, mais nous pouvons prouver le concept car nous savons déjà qu'ils sont équivalents. En multipliant par croix, nous obtenons 4/16 = 8 x 8, ou 64 = 64, ce qui est vrai. Si ces deux nombres ne sont pas égaux, alors les fractions ne sont pas équivalentes
Étape 3. Ajoutez des variables
Puisque la multiplication croisée est le moyen le plus simple de déterminer des fractions équivalentes lorsque vous devez trouver des variables, ajoutons des variables.
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Par exemple, utilisons l'équation 2/x = 10/13. Pour multiplier par croisement, nous multiplions 2 par 13 et 10 par x, puis fixons nos réponses égales les unes aux autres:
- 2 × 13 = 26
- 10 × x = 10x
- 10x = 26. À partir de là, trouver la réponse à notre variable est un simple problème d'algèbre. x = 26/10 = 2, 6, rendant la fraction équivalente initiale 2/2, 6 = 10/13.
Étape 4. Utilisez la multiplication croisée pour les fractions à variables multiples ou les expressions variables
L'une des meilleures choses à propos de la multiplication croisée est qu'elle fonctionne en fait de la même manière, que vous travailliez avec deux fractions simples (comme ci-dessus) ou des fractions plus complexes. Par exemple, si les deux fractions ont des variables, il vous suffit d'éliminer ces variables dans le processus de résolution. De même, si le numérateur ou le dénominateur de votre fraction a une expression variable (comme x + 1), il suffit de la "multiplier" en utilisant la propriété distributive et de résoudre comme d'habitude.
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Par exemple, utilisons l'équation ((x + 3)/2) = ((x + 1)/4). Dans ce cas, comme ci-dessus, nous allons le résoudre par produit croisé:
- (x + 3) × 4 = 4x + 12
- (x + 1) × 2 = 2x + 2
- 2x + 2 = 4x + 12, alors nous pouvons simplifier la fraction en soustrayant 2x des deux côtés
- 2 = 2x + 12, puis on isole la variable en soustrayant 12 des deux côtés
- -10 = 2x, et diviser par 2 pour trouver x
- - 5 = x
Méthode 5 sur 5: Utilisation de formules quadratiques pour rechercher des variables
Étape 1. Croisez les deux fractions
Pour les problèmes d'égalité qui nécessitent une formule quadratique, nous commençons toujours par utiliser le produit croisé. Cependant, tout produit croisé qui implique de multiplier les termes d'une variable par les termes d'une autre variable est susceptible d'aboutir à une expression qui ne peut pas être facilement résolue à l'aide de l'algèbre. Dans de tels cas, vous devrez peut-être utiliser des techniques telles que la factorisation et/ou des formules quadratiques.
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Par exemple, regardons l'équation ((x +1)/3) = (4/(2x - 2)). Tout d'abord, multiplions par croix:
- (x + 1) × (2x - 2) = 2x2 + 2x -2x - 2 = 2x2 - 2
- 4 × 3 = 12
- 2x2 - 2 = 12.
Étape 2. Écrivez l'équation sous la forme d'une équation quadratique
Dans cette section, nous voulons écrire cette équation sous forme quadratique (ax2 + bx + c = 0), ce que nous faisons en mettant l'équation à zéro. Dans ce cas, nous soustrayons 12 des deux côtés pour obtenir 2x2 - 14 = 0.
Certaines valeurs peuvent être égales à 0. Même si 2x2 - 14 = 0 est la forme la plus simple de notre équation, la vraie équation quadratique est 2x2 + 0x + (-14) = 0. Il peut être utile au départ d'écrire la forme de l'équation quadratique même si certaines valeurs sont égales à 0.
Étape 3. Résolvez en insérant les nombres de votre équation quadratique dans la formule quadratique
Formule quadratique (x = (-b +/- (b2 - 4ac))/2a) nous aidera à trouver notre valeur x dans cette section. N'ayez pas peur de la longueur de la formule. Il vous suffit de prendre les valeurs de votre équation quadratique à la deuxième étape et de les mettre aux bons endroits avant de les résoudre.
- x = (-b +/- (b2 - 4ac))/2a. Dans notre équation, 2x2 - 14 = 0, a = 2, b = 0 et c = -14.
- x = (-0 +/- (02 - 4(2)(-14)))/2(2)
- x = (+/- (0 - -112))/2(2)
- x = (+/- (112))/2(2)
- x = (+/- 10,58/4)
- x = +/- 2, 64
Étape 4. Vérifiez votre réponse en ressaisissant la valeur de x dans votre équation quadratique
En rebranchant la valeur x calculée dans votre équation quadratique à partir de la deuxième étape, vous pouvez facilement déterminer si vous avez obtenu la bonne réponse. Dans cet exemple, vous allez brancher 2, 64 et -2, 64 dans l'équation quadratique d'origine.
Des astuces
- Convertir une fraction en son équivalent est en fait une forme de multiplication d'une fraction par 1. En convertissant 1/2 en 2/4, multiplier le numérateur et le dénominateur par 2 revient à multiplier 1/2 par 2/2, ce qui équivaut à 1.
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Si vous le souhaitez, convertissez le nombre mixte en une fraction commune pour faciliter la conversion. Bien sûr, toutes les fractions que vous rencontrerez ne seront pas aussi faciles que de convertir notre exemple 4/8 ci-dessus. Par exemple, les nombres mixtes (tels que 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3, etc.) peuvent rendre le processus de conversion un peu plus compliqué. Si vous devez convertir un nombre mixte en une fraction commune, vous pouvez le faire de deux manières: en convertissant le nombre mixte en une fraction commune, puis en le convertissant comme d'habitude, ou en conservant la forme de nombres mixtes et en obtenant des réponses sous forme de nombres mixtes.
- Pour convertir en une fraction commune, multipliez la composante entière du nombre mixte par le dénominateur de la composante fractionnaire, puis ajoutez au numérateur. Par exemple, 1 2/3 = ((1 × 3) + 2)/3 = 5/3. Ensuite, si vous le souhaitez, vous pouvez le modifier au besoin. Par exemple, 5/3 × 2/2 = 10/6, qui reste égal à 1 2/3.
- Cependant, nous n'avons pas à le convertir en une fraction commune comme ci-dessus. Sinon, nous laissons le composant entier seul, ne changeons que le composant fractionnaire et ajoutons le composant entier inchangé. Par exemple, pour 3 4/16, on ne voit que 4/16. 4/16 4/4 = 1/4. Ainsi, en rajoutant nos composants entiers, nous obtenons un nouveau nombre mixte, 3 1/4.
Avertissement
- La multiplication et la division peuvent être utilisées pour obtenir des fractions équivalentes car la multiplication et la division avec la forme fractionnaire du nombre 1 (2/2, 3/3, etc.) donne une réponse équivalente à la fraction d'origine, par définition. L'addition et la soustraction ne peuvent pas être utilisées.
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Même si vous multipliez les numérateurs et les dénominateurs lorsque vous multipliez des fractions, vous n'ajoutez ou ne soustrayez pas les dénominateurs lorsque vous ajoutez ou soustrayez des fractions.
Par exemple, ci-dessus, nous savons que 4/8 4/4 = 1/2. Si nous additionnons par 4/4, nous obtenons une réponse complètement différente. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 ou 3/2, ils ne sont pas égaux à 4/8.
